Question

我正试图把我的脑袋包裹在Coq中的类型类中（我过去曾涉足过它，但我与经验丰富的用户相去甚远）。作为练习，我正在尝试编写一个小组理论库。这就是我想出来的：

Class Group {S : Type} {op : S → S → S} := {
  id : S;

  inverse : S → S;

  id_left {x} : (op id x) = x;
  id_right {x} : (op x id) = x;

  assoc {x y z} : (op (op x y) z) = (op x (op y z));

  right_inv {x} : (op x (inverse x)) = id;
}.

我特别喜欢隐含的S和op参数（假设我正确理解它们）。

为反转做一些表示很容易：

Notation "- x" := (@inverse _ _ _ x)
  (at level 35, right associativity) : group_scope.

现在，我想x * y为(op x y)提供简写。使用部分时，这很简单：

Section Group.
Context {S} {op} { G : @Group S op }.

(* Reserved at top of file *)
Notation "x * y" := (op x y) : group_scope.
(* ... *)
End Group.

但是，由于这是在一个部分中声明的，因此其他地方无法访问该表示法。如果可能的话，我想在全球范围内声明符号。我遇到的问题（与inverse相反）是因为op是Group的隐式参数，它实际上并不存在于全局范围内的任何地方（所以我(@op _ _ _ x y)）无法引用它。这个问题告诉我，我要么使用类型错误，要么不理解如何将符号与隐式变量集成。有人能指出我正确的方向吗？

答案（2018年1月25日）

基于Anton Trunov's response，我能够编写以下内容，其中有效：

Reserved Notation "x * y" (at level 40, left associativity).

Class alg_group_binop (S : Type) := alg_group_op : S → S → S.

Delimit Scope group_scope with group.
Infix "*" := alg_group_op: group_scope.

Open Scope group_scope.

Class Group {S : Type} {op : alg_group_binop S} : Type := {
  id : S;

  inverse : S → S;

  id_left {x} : id * x = x;
  id_right {x} : x * id = x;

  assoc {x y z} : (x * y) * z = x * (y * z);

  right_inv {x} : x * (inverse x) = id;

}.

Answer 1

以下是PierreCastéran和Matthieu Sozeau如何在A Gentle Introduction to Type Classes and Relations in Coq（§3.9.2）中解决这个问题：

来自 ibid。的解决方案在于声明用于表示二元运算符的单例类型类：
Class monoid_binop (A:Type) := monoid_op : A -> A -> A.
Nota ：与多字段类类型不同，monoid_op不是构造函数，而是透明常量，使monoid_op f可以δβ减少为{{1} }。

现在可以声明中缀表示法：
f
我们现在可以使用Delimit Scope M_scope with M. Infix "*" := monoid_op: M_scope. Open Scope M_scope.类型代替Monoid，使用中缀符号monoid_binop A代替A → A → A来提供x * y的新定义：
monoid_op x y

Answer 2

皮埃尔·卡斯特兰（PierreCastéran）和马蒂乌·索佐（Matthiu Sozeau）可能就是这样处理它的原因。

但不会

Definition group_op {S op} {G : @Group S op} := op.
Infix "*" := group_op.

也在这里工作？（我只尝试了两个非常基本的测试用例。）

这将使您无需更改Group的定义。

在Coq表示法

答案（2018年1月25日）

2 个答案: