是负二次函数拟凸

Question

我在书中读到（Convex Optimization，boyd）

quasiconvex（或unimodal），如果它的域及其所有子级集合 Sα= {x∈domf | f（x）≤α}，对于α∈R，是凸的。

当且仅当f（x）不递减或不递增时，f（x）是拟凸的。

所以我想知道f（x）= -x ^ 2 + 10是否是拟凸的，根据定义，如果α= 5，则子级集是两个不同的（-inf，a）和（b，+ inf），这不是凸集。但根据第二条规则，f（x）不是单调的，这使得它成为拟凸。我在哪里弄错了？

Answer 1

  

我在哪里弄错了？

这句话错了：

  

当且仅当f（x）不递减或不递增时，f（x）是拟凸的。

暗示只有一种方式，而不是两种方式。

也就是说，单调函数肯定是拟凸的，但是有一些非单调的拟凸函数。 x ² 是拟凸（和凸）但显然不是单调的。

  

我想知道f（x）= -x ² + 10是否是quasiconvex

不是。它是凹的（和拟凹面;所有凹函数都是拟凹面）。

然而它是单峰的。单峰函数具有单调递增到某一点的特性，然后单调递减。在你的例子中，f（x）是单调递增到f（0），然后单调递减到。

我们说这些函数是“单峰的”，因为我们可以将函数的“模式”视为局部最大值。单峰函数具有单个局部（因此全局）最大值而没有其他局部最大值。显然，所有向下开口的抛物线都是单峰的。

所有单峰函数都是quasiconcave。

让我们总结一下。对于从实数到实数的函数，选择曲线上的任意两个点。一些定义：

• 如果连接它们的线段始终完全在曲线上或上方，则该函数是凸的。
• 如果连接它们的线段始终位于曲线上或曲线下方，则该函数为凹形。
• 如果两点之一始终是两点之间函数的最大值，则函数为quasiconvex。
• 如果两点之一始终是两点之间函数的最小值，则函数为quasiconcave。

此外：

• 如果函数单调增加到最大点并且之后单调递减，则它是单峰的。

一些定理：

• 每个凸函数都是拟凸的。
• 每个凹函数都是拟凹函数。
• 每个单峰函数都是quasiconcave。
• 每个单调函数都是quasiconvex。
• 每个单调函数都是quasiconcave。
• 每个凸函数的负数都是凹的。
• 每个凹函数的负数都是凸的。
• 每个quasiconvex函数的负数都是quasiconcave。
• 每个quasiconcave函数的负数是quasiconvex。