纳什均衡和负载平衡游戏

Question

我知道Nash Equilibria是我的球员中没有一个能改变状态以获得更好状态的地方。我有机器（速度相同，容量无限）和n个代理（玩家），每个代理都有一个他必须使用机器处理的权重。每个代理的个人目标是最小化其机器的负载。全球目标是尽量减少完工时间。我需要证明，从任何解决方案开始，我都可以收敛到纯粹的纳什均衡。

（假设机器＆lt;代理商）如果我通过减轻重量并为每个机器分配一台机器来对我的代理进行排序：

m1
m2

a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7

load m1 = 7
load m2 = 5+3 = 8

这是纯粹的纳什均衡吗？没有一个我的经纪人想改变他的状态。

Answer 1

假设我们已将代理分配给计算机。每个代理a _i 都有工作w _i ，而每台机器m _j 的总负载L _j （分配给它的代理的负载总和）。

如果已将代理a _i 分配给机器m _j ，并且更改为机器m _k ，则新的负载将为：< / p>

→<子>Ĵ＆＃39; = L _j - w _i
→<子>ķ＆＃39; = L _k + w _i

代理a _i 当且仅当L _k ＆＃39; ＆LT; →<子>Ĵ

现在定义一个新的数量R，它是L的平方和，看看它是如何变化的：

R＆＃39; - R =（L _j ＆＃39; ² + L _k ＆＃39; ² ） - （ L _j ² + L _k ² ）
=（L _j - w _i ） ² +（L _k + w _i ） ² - （L _j ² + L _k ² ）
=（ - 2L _j w _i + w _i ² ）+（2L _k w _i + w _i ² ）
= -2L _j w _i +（2L _k w _i + 2w _i ² ）
= 2w _i [-L _j +（L _k + w _i ）]
= 2w _i [-L _j + L _k ＆＃39;]

但我们已经知道L _k ＆＃39; ＆LT; L _j ，所以

R＆＃39; - R＆lt; 0

R是非负的（因为它是一个平方和），每次变化都会减少，并且它将减少最小值大于零的量。 因此，此过程无法继续执行无数步骤。因此，它将达到没有代理想要更改机器的状态。