Question

我试图让一个2d精灵以“弧形”（半椭圆形）而不是直线移动。我有X和Y的开始和结束位置以及所需的半径。

实施此方法的最佳方法是什么？

Answer 1

如果你想让它在椭圆中移动，我所知道的最简单的方法是将y值作为时间与sin的函数，并将x值作为时间与cos的函数。假设您正在使用System.currentTimeMillis（）;，您将初始时间存储在变量中（例如，double startTime = System.currentTimeMillis（）），然后在每个帧中，您将通过从中减去当前时间来获得经过时间开始时间。（例如elapsedTme = System.currentTimeMillis（） - startTime）。那么y值将是（y方向上的半径）* sin（elapsedTime * speed）+椭圆中心的y值，x值将是（x方向上的半径）* cos（elapsedTime * speed）椭圆中心的+ x值。

编辑：如果你有起始的X和Y坐标而不是椭圆的中心，那么我认为获得中心的最简单方法是弄清楚其余的变量，然后将它们插入等式中。那里的数学不应该太难。

Answer 2

你可能想要使用椭圆的参数形式，这里显示的公式

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#General_parametric_form

因为你有一个起点pt，并且结束了pt，你需要在两端解决t，

然后从t开始到结束，以相对较小的增量步进。

Answer 3

我认为这个问题最好通过一系列坐标变换来解决。为了简化符号，让我们假设你得到的两点是你和v。

假设您在一个非常简单的情况下工作 - 点u和v分别位于（1,0）和（-1,0），椭圆上的长轴长度为1。然后你只是追寻一个半圆。假设您希望以恒定速度在点之间进行插值，则可以使用以下公式：

x(t) = cos(pi * t)
y(t) = sin(pi * t)

当然，您不一定非常幸运能够进入此设置，因此我们可以进行一系列坐标转换以使您进入此配置。首先，让我们将点w定义为u =（x0，y0）和v =（x1，y1）之间的中间点。那就是：

w = (x2, y2) = ((x0 + x1) / 2, (y0 + y1) / 2)

现在，假设您翻译u和v以使w位于原点。这意味着u和v沿着相反的向量与原点等距。如果我们使用矩阵和齐次坐标，那么您可以将其表示为

     | 1  0 -x2 |
 T = | 0  1 -y2 |
     | 0  0   1 |

此翻译后u和v的位置由Tu和Tv给出。我们将这些点称为u'和v'。

给出了它们

u' = (x0 - x2, x1 - y2) = (x0 / 2 - x1 / 2, y0 / 2 - y1 / 2)
v' = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 / 2 - x0 / 2, y1 / 2 - y0 / 2)

我们现在更接近于解决原始问题，但是我们遇到的问题是u'和v'与x轴没有很好地对齐，因为它们在原始问题中。为了解决这个问题，我们将应用一个旋转变换，使得u'最终为（1,0），v'最终为（0,1）。为此，我们需要设置一个坐标系，其中一个基矢量位于u'方向，另一个位于垂直于它的方向。为此，我们将按如下方式选择单位向量：

e0 = u' / ||u||
e1 = perp(e0)

perp是一个垂直于e0的单位向量。解决此问题的一种方法是，如果e0 = (x3, y3)，则为e1 = perp(e0) = (-y3, x3)。您可以验证此向量是否垂直于(x3, y3)，因为它们的点积为零。

鉴于这些向量，我们可以定义一个转换，它将（1,0）映射到e0和（0,1）到e1

|x3 -y3  0|
|y3  x3  0|
| 0   0  1|

（最后一列是针对齐次坐标系的）

当然，这与我们想要的相反 - 我们试图从e0映射到（1,0），从e1映射到（0,1）。为了得到这个矩阵，我们只是反转上面的矩阵。幸运的是，由于我们选择e0和e1为正交，上面的矩阵是正交的，所以它的逆是它的转置：

    | x3 y3 0|
R = |-y3 x3 0|
    |  0  0 1|

现在，如果我们将R应用于u'和v'，我们最终会得到向量（1,0）和（-1,0），这就是我们想要的地方他们是。现在的问题是我们想要追踪的椭圆不一定具有单位高度。例如，如果我们将其高度称为h，那么我们将描绘出具有半长轴h和半轴1的椭圆路径。但是这可以通过另一个坐标变换轻松校正，这次将坐标系统的高度缩放1 / h因子，以便我们想要跟踪的椭圆的高度为1.这可以通过以下缩放来完成矩阵：

    | 1  0  0 |
S = | 0 1/h 0 |
    | 0  0  1 |

此设置有用的原因是我们知道如果我们在u和v之间的所需椭圆上取任何点，然后将矩阵SRT应用于它，那么我们最终将它转换为使用单位圆上的对应点，这是从（1,0）到（-1,0）的路径。但更重要的是，这种方式相反。如果我们将SRT的逆应用于单位圆上的任意点，我们最终会返回u和{{1}之间原始椭圆路径上的相应点}！为了达成协议，我们知道如何找到从（1,0）到（-1,0）的路径上的点，因此我们有一个算法来解决这个问题：

对于给定时间v，如果您在时间t从（1,0）移动到（-1,0），则找到您在单位圆上的位置。称之为t。
计算p'=（SRT）^-1 p。
p是你要找的点。

那么，问题是（SRT）^-1是什么。幸运的是，我们有（SRT）^-1 = T ^-1 R ^-1 S ^-1，所有这些矩阵都可以很容易地计算出来：

p'

简而言之，最终算法如下：

给定u =（x0，y0）和v =（x1，y1），设w =（x2，y2）=（（x0 + x1）/ 2，（y0 + y1）/ 2）。
让你'= u / || u || =（x3，y3）。
在时间t（0≤t≤1），设p =（cos（πt），sin（πt））
计算p'= S ^-1 p =（cos（πt），h sin（πt））
计算p''= R ^-1 p'=（x3 cos（πt） - y3 sin（πt），y3 cos（πt）+ x3 sin（πt））
计算p''= T ^-1 p''=（x3 cos（πt） - y3 sin（πt）+ x2，y3 cos（πt）+ x3 sin（ πt）+ y2）
输出p''作为您的观点。

很抱歉，如果这是一个很好的数学，但你的答案应该（希望！）由上述程序给出。

Answer 4

我相信您正在寻找Bezier曲线，请检查http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Bezier.htm。源也可以在同一链接中获得。

如果您使用SWT，可以检查http://help.eclipse.org/helios/topic/org.eclipse.platform.doc.isv/reference/api/org/eclipse/swt/graphics/GC.html#drawArc(int，int，int，int，int，int）

精灵椭圆运动

4 个答案: