Question

假设按时间顺序进行了三次二项式实验。对于每个实验，我都知道 #of试验以及 #ofcescesces 。为了使用前两个较旧的实验作为第三个实验的先验，我想＆＃34;在两个较旧的实验中拟合贝叶斯分层模型，并使用后验形式作为第三个实验的先验＆＃34; < / em>的

鉴于我的可用数据（如下），我的问题是：我的rstanarm代码是否在下方捕获我上面描述的内容？

Study1_trial = 70 Study1_succs = 27 #================== Study2_trial = 84 Study2_succs = 31 #================== Study3_trial = 100 Study3_succs = 55

我在包rstanarm中尝试了什么：

library("rstanarm") data <- data.frame(n = c(70, 84, 100), y = c(27, 31, 55)); mod <- stan_glm(cbind(y, n - y) ~ 1, prior = NULL, data = data, family = binomial(link = 'logit')) ## can I use a beta(1.2, 1.2) as prior for the first experiment?

Answer 1

TL; DR：如果您直接预测成功的可能性，那么模型将是具有参数theta（成功概率）的伯努利可能性，其可以采用0到1之间的值。在这种情况下，您可以为theta使用Beta。但是使用逻辑回归模型，您实际上可以对成功的对数几率进行建模，这可以采用从-Inf到Inf的任何值，因此具有正态分布的先验（或其他先前可以采用任何实际值由可用的先前信息确定的某个范围内的值更合适。

对于唯一参数是截距的模型，先验是对数成功几率的概率分布。在数学上，模型是：

log(p/(1-p)) =  a

p是成功的概率a，您正在估算的参数是截距，可以是任何实数。如果成功的几率是1：1（即p = 0.5）那么a = 0。如果赔率大于1：1，则a为正。如果赔率小于1：1则a为负。

由于我们需要a的先验，我们需要一个可以承担任何实际值的概率分布。如果我们对成功几率一无所知，我们可能会使用非常弱信息的先验，如正态分布，例如，mean = 0和sd = 10（这是rstanarm默认值），意味着一个标准偏差将包含成功几率，范围从大约22000：1到1：22000！所以这个先验基本上是平的。

如果我们前两个研究构建先验，我们可以使用基于这些研究的概率密度，然后将其转换为对数几率表：

# Possible outcomes (that is, the possible number of successes)
s = 0:(70+84)

# Probability density over all possible outcomes
dens = dbinom(s, 70+84, (27+31)/(70+84))

假设我们使用先验的正态分布，我们希望最有可能的成功概率（这将是先前的均值）和均值的标准差。

# Prior parameters
pp = s[which.max(dens)]/(70+84)  # most likely probability
psd = sum(dens * (s/max(s) - pp)^2)^0.5  # standard deviation

# Convert prior to log odds scale
pp_logodds = log(pp/(1-pp))
psd_logodds = log(pp/(1-pp)) - log((pp-psd)/(1 - (pp-psd)))

c(pp_logodds, psd_logodds)

[1] -0.5039052  0.1702006

您可以通过在前两个研究中使用默认（平坦）优先级运行stan_glm来生成基本相同的先验：

prior = stan_glm(cbind(y, n-y) ~ 1, 
                 data = data[1:2,], 
                 family = binomial(link = 'logit'))   

c(coef(prior), se(prior))

[1] -0.5090579   0.1664091

现在，让我们使用研究3中的数据，使用我们刚刚生成的默认先验和先验，来拟合模型。我已切换到标准数据框，因为stan_glm似乎在数据框只有一行时失败（如data = data[3, ]中所示）。

# Default weakly informative prior
mod1 <- stan_glm(y ~ 1, 
                 data = data.frame(y=rep(0:1, c(45,55))), 
                 family = binomial(link = 'logit'))   

# Prior based on studies 1 & 2
mod2 <- stan_glm(y ~ 1, 
                 data = data.frame(y=rep(0:1, c(45,55))), 
                 prior_intercept = normal(location=pp_logodds, scale=psd_logodds), 
                 family = binomial(link = 'logit'))

为了进行比较，我们还生成一个包含所有三个研究和默认平坦先验的模型。我们希望此模型能够提供与mod2几乎相同的结果：

mod3 <- stan_glm(cbind(y, n - y) ~ 1, 
                 data = data, 
                 family = binomial(link = 'logit'))

现在让我们比较三种模型：

library(tidyverse)

list(`Study 3, Flat Prior`=mod1, 
     `Study 3, Prior from Studies 1 & 2`=mod2, 
     `All Studies, Flat Prior`=mod3) %>% 
  map_df(~data.frame(log_odds=coef(.x),
                     p_success=predict(.x, type="response")[1]), 
         .id="Model")

                              Model   log_odds p_success
1               Study 3, Flat Prior  0.2008133 0.5500353
2 Study 3, Prior from Studies 1 & 2 -0.2115362 0.4473123
3           All Studies, Flat Prior -0.2206890 0.4450506

对于具有平坦先验（第1行）的研究3，预测的成功概率是0.55，正如预期的那样，因为数据表示的是什么，而先前没有提供额外的信息。

对于具有先前基于研究1和2的研究3，成功概率为0.45。成功的可能性较低是由于研究1和2中增加额外信息的成功概率较低。事实上，mod2成功的概率正是您直接根据数据计算的：with(data, sum(y)/sum(n))。 mod3将所有信息放入可能性中，而不是将其分为先验和可能性，但在其他方面基本上与mod2相同。

rstanarm用于二项式实验的贝叶斯分层建模

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