Question

我想绘制一个由等式给出的平面：Ax + By + Cz + D = 0。我首先尝试通过设置x，y来绘制他，然后从等式中得到z。这不能正常工作，因为有一些平面，如0x + 0y + z + 0 = 0等......

我目前的解决方案是： - 通过给出无限远的4个坐标在ZY平面上绘制平面。 - 找出应该完成的旋转，以便使给定平面（a，b，c）的法线平躺在z轴上。 - 找到应该完成的平移，以使该平面位于x轴上。 - 对这些旋转进行完全相反的转换，然后我将得到这个转换飞机在他的位置。

确定

这是一件很棒的事情，但我可以使用点积等进行正确的数学计算（尝试了很多次......）。

有人可以帮助我理解它应该做的确切方式吗？或者给我一些公式，我将把它放到ABCD并获得正确的转换？

Answer 1

您需要以下转换矩阵：

    [ x0_x y0_x z0_x o_x ]
M = [ x0_y y0_y z0_y o_y ]
    [ x0_z y0_z z0_z o_z ]
    [    0    0    0   1 ]

这里，z0是平面的法线，o是平面的原点，x0和y0是平面内垂直于z0的两个矢量，用于定义投影的旋转和倾斜。

然后，XY平面上的任何点（x，y）都可以投影到新平面的点（p_x，p_y，p_z），其中包含以下内容：

(p_x, p_y, p_z, w) = M * (x, y, 0, 1)

现在，转换矩阵中的z0很简单，这就是你的平面的法线，而且只是n = normalize(a,b,c)。

在选择休息时，你有更多的自由。对于原点，您可以指出平面与Z轴相交的点，除非平面与Z轴平行，在这种情况下您需要其他东西。

所以，例如。

if (c != 0) { //plane intersects Z axis
  o_x = 0;
  o_y = 0;
  o_z = -d/c;
}
else if (b != 0) { // plane intersects Y axis
  o_x = 0;
  o_y = -d/b;
  o_z = 0;
}
else { // plane must intersect the X axis
  o_x = -d/a;
  o_y = 0;
  o_z = 0;
}

在实践中，您可能希望选择与(c != 0)不同的测试，因为通过该测试，即使c非常小但只是与零不同，导致您的原点是，{{{ 1}}这可能是不可取的。所以像x=0, y=0, z=10e100这样的测试可能更可取。然而，您当然可以在平面中采用完全不同的点来放置原点，也许是最接近原始坐标系原点的点，即：

(abs(c) > threshold)

然后最后我们需要弄清楚x0和y0。这可能是任何两个与z0正交的线性无关矢量。

首先，让我们在XY平面中为x0向量选择一个向量：

o = n * (d / sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

现在，如果您的z0恰好是（0,0，z0_z）形式，则会失败，因此我们需要一个特殊情况：

x0 = normalize(z0_y, -z0_x, 0)

最后让我们说我们不要歪斜并选择y0与x0和y0正交，然后使用交叉产品

if (z0_x == 0 && z0_y == 0) {
  x0 = (1, 0, 0)
}
else {
  x0 = normalize(z0_y, -z0_x, 0)
}

现在你需要填写转换矩阵。

免责声明：对您的号码使用浮点表示时应该采取适当的措施，在这些情况下，简单（foo == 0）测试是不够的。在开始实现之前，请先阅读浮点数学。

编辑：为了清晰起见重命名了一些变量

Answer 2

这就是你问的问题吗？

将像xy平面这样的简单平面转换为您的平面非常简单：

你的飞机是Ax + By + Cz + D = 0

xy平面只是z = 0。即A = B = D = 0，而C =你想要的任何东西。为简单起见，我们会说1。

当你有这种形式的平面时，平面的法线由矢量（A，B，C）定义

所以你想要一个从（0,0,1）到（A，B，C）的旋转*

*请注意，只有当{A，B，C}是单一的时，这才有效。所以你可能需要将A B和C除以sqrt（A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2）。

只旋转两个轴可以让你从任何方向到任何其他方向，所以我们将选择x和y;

这里是旋转矩阵，用于围绕x轴旋转，b围绕y轴旋转。

Rx：= {{1,0,0}，{0，Cos [a]，Sin [a]}，{0，-Sin [a]，Cos [a]}}

Ry：= {{Cos [b]，0，-Sin [b]}，{0,1,0}，{Sin [b]，0，Cos [b]}}

如果我们围绕x进行旋转，然后围绕y的旋转，垂直于xy平面的矢量（0,0,1），我们得到：

Ry.Rx。{0,0,1} = {-Cos [a] Sin [b]，Sin [a]，Cos [a] Cos [b]}

这是你的A B C值。

即

A = -Cos [a] Sin [b]

B = Sin [a]

C = Cos [a] Cos [b]

从这里开始，很简单。

a = aSin [B]

所以现在A = -Cos [aSin [B]] Sin [b]

Cos [aSin [x]] = sqrt（1-x ^ 2）这样：

A = -Sqrt [1-B ^ 2] * Sin [b]

b = aSin [-A / sqrt [1-B ^ 2]]

a = aSin [B]（绕x轴旋转）

b = aSin [-A / sqrt [1-B ^ 2]]（绕y轴旋转）

所以我们现在有了旋转所需的x和y轴的角度。

在此之后，你只需要向上或向下移动飞机，直到它与你已经拥有的飞机相匹配。

此刻你所拥有的飞机（在这两次旋转之后）将是Ax + By + Cz = 0.

你想要的飞机是Ax + Bx + Cz + D = 0。为了找出d，我们将看到z轴穿过你的平面的位置。

即。 Cz + D = 0 - ＆gt; z = -D / C

因此，我们将Ax + By + Cz = 0中的z转换为-D / C，得到：

Ax + By + C（z + D / C）= Ax + By + Cz + D = 0。哦，你看看那个！

事实证明，一旦你有旋转的角度，你就不需要做任何额外的数学了！

这两个角度会给你A，B和C.要获得D你只需从你拥有的那里复制它。

希望能提供一些帮助，但我并不完全确定你计划如何实际绘制飞机......

编辑修复一些可怕的格式。希望现在好多了。

画一架飞机

2 个答案: