可以使用A的协方差来计算A'* A吗？

Question

我正在python中进行基准测试，以不同的方式计算A'* A，其中A是N×M矩阵。最快的方法之一是使用numpy.dot()。

我很好奇，如果我可以通过某种方式改变权重或以某种方式预处理A矩阵，使用numpy.cov()（它给出协方差矩阵）获得相同的结果？但我没有成功。有没有人知道产品A'* A和A的协方差之间是否存在任何关系，其中A是具有N行/观测和M列/变量的矩阵？

Answer 1

查看cov source。在功能结束时，它会这样做：

c = dot(X, X_T.conj())

这基本上是您要执行的点积。但是，还有各种其他操作：检查输入，减去均值，归一化......

简而言之，np.cov永远不会比np.dot(A.T, A)更快，因为它内部恰好包含该操作。

那就是说 - covariance matrix is computed为

或者在Python中：

import numpy as np

a = np.random.rand(10, 3)

m = np.mean(a, axis=0, keepdims=True)
x = np.dot((a - m).T, a - m) / (a.shape[0] - 1)

y = np.cov(a.T)

assert np.allclose(x, y)  # check they are equivalent

如您所见，如果您减去每个变量的平均值并将结果除以样本数（减1），则协方差矩阵等效于原始点积。