我对fix
的文档感到有点困惑(虽然我想我明白它应该做什么),所以我查看了源代码。这让我更加困惑:
fix :: (a -> a) -> a
fix f = let x = f x in x
这究竟是如何返回固定点的?
我决定在命令行试试:
Prelude Data.Function> fix id
...
它挂在那里。现在公平地说,这是在我的旧Macbook上,这有点慢。但是,这个函数不能太计算上昂贵,因为传入id的任何东西都会返回相同的东西(更不用说它不占用CPU时间)。我做错了什么?
答案 0 :(得分:81)
你没有做错任何事。 fix id
是一个无限循环。
当我们说fix
返回函数的最小固定点时,我们的意思是domain theory意义上的。fix (\x -> 2*x-1)
。所以1
不将返回1
,因为尽管fix
是该函数的固定点,但它不是最少域名订购中的一个。
我无法在一两段内描述域名排序,因此我将向您推荐上面的域名理论链接。这是一个很好的教程,易于阅读,而且非常有启发性。我强烈推荐它。
对于10,000英尺的视图,let x = 1:x in x
是一个高阶函数,它编码递归的概念。如果您有表达式:
[1,1..]
哪个会产生无限列表fix
,您可以使用fix (\x -> 1:x)
说同样的事情:
fix (1:)
(或简称为(1:)
),它说我找到x
函数的固定点,Iow值为x = 1:x
,fix
...就像我们一样定义如上。从定义中可以看出,fib n = if n < 2 then n else fib (n-1) + fib (n-2)
只不过是这个想法 - 将递归封装到一个函数中。
这也是一个真正普遍的递归概念 - 你可以用这种方式编写任何递归函数,including functions that use polymorphic recursion。例如,典型的斐波纳契函数:
fix
可以用fib = fix (\f -> \n -> if n < 2 then n else f (n-1) + f (n-2))
这样写:
fix
练习:扩展fib
的定义,以显示{{1}}的这两个定义是等效的。
但是要完全理解,请阅读有关领域理论的内容。这真的很酷。
答案 1 :(得分:20)
我根本不会理解这一点,但如果这有助于任何人......那么yippee。
考虑fix
的定义。 fix f = let x = f x in x
。令人难以置信的部分是x
被定义为f x
。但请考虑一下。
x = f x
由于x = f x,那么我们可以用右边的x
替换它,对吧?因此......
x = f . f $ x -- or x = f (f x)
x = f . f . f $ x -- or x = f (f (f x))
x = f . f . f . f . f . f . f . f . f . f . f $ x -- etc.
所以诀窍是,为了终止,f
必须生成某种结构,以便后来的f
可以模式匹配该结构并终止递归,而不必实际关注其参数的完整“值”(?)
当然,除非你想做一些创建无限列表的事情,如luqui所示。
TomMD的因子解释很好。 Fix的类型签名是(a -> a) -> a
。 (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1)
的类型签名为(b -> b) -> b -> b
,换句话说,(b -> b) -> (b -> b)
。所以我们可以说a = (b -> b)
。这样,修复就会使用我们的函数a -> a
,或者真的(b -> b) -> (b -> b)
,并返回a
类型的结果,换句话说,b -> b
,其他单词,另一个功能!
fix
教它如何递归。
还记得我是怎么说f
必须生成某种结构,以便后来的f
可以模式匹配并终止吗?嗯,这不完全正确,我想。 TomMD说明了我们如何扩展x
以应用函数和基础案例的步骤。对于他的功能,他使用了if / then,这就是导致终止的原因。在重复替换之后,in
的整个定义的fix
部分最终会停止以x
的形式定义,即可以计算和完成。
答案 2 :(得分:15)
您需要一种方法让fixpoint终止。扩展你的例子显然它不会完成:
fix id
--> let x = id x in x
--> id x
--> id (id x)
--> id (id (id x))
--> ...
这是我使用修复程序的一个真实示例(请注意,我不经常使用修复程序,并且在编写此代码时可能已经厌倦/不担心可读代码):
(fix (\f h -> if (pred h) then f (mutate h) else h)) q
WTF,你说!嗯,是的,但这里有一些非常有用的要点。首先,你的第一个fix
参数通常应该是一个“递归”情况的函数,第二个参数是要作用的数据。这是与命名函数相同的代码:
getQ h
| pred h = getQ (mutate h)
| otherwise = h
如果你仍然感到困惑,那么也许因子将是一个更简单的例子:
fix (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) 5 -->* 120
注意评估:
fix (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) 3 -->
let x = (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x in x 3 -->
let x = ... in (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x 3 -->
let x = ... in (\d -> if d > 0 then d * (x (d-1)) else 1) 3
哦,你看到了吗? x
成为我们then
分支内的一个函数。
let x = ... in if 3 > 0 then 3 * (x (3 - 1)) else 1) -->
let x = ... in 3 * x 2 -->
let x = ... in 3 * (\recurse d -> if d > 0 then d * (recurse (d-1)) else 1) x 2 -->
在上文中,您需要记住x = f x
,因此最后x 2
的两个参数而不仅仅是2
。
let x = ... in 3 * (\d -> if d > 0 then d * (x (d-1)) else 1) 2 -->
我会在这里停下来!
答案 3 :(得分:9)
答案 4 :(得分:2)
我理解的是,它找到了函数的值,这样它就会输出你给它的东西。问题是,它将始终选择未定义(或无限循环,在haskell中,未定义和无限循环是相同的)或其中包含最多未定义的内容。例如,使用id,
λ <*Main Data.Function>: id undefined
*** Exception: Prelude.undefined
如您所见,undefined是一个固定点,因此fix
会选择它。如果您改为(\ x-&gt; 1:x)。
λ <*Main Data.Function>: undefined
*** Exception: Prelude.undefined
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) undefined
[1*** Exception: Prelude.undefined
所以fix
无法选择未定义的。为了使它更多地连接到无限循环。
λ <*Main Data.Function>: let y=y in y
^CInterrupted.
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) (let y=y in y)
[1^CInterrupted.
再次,略有不同。那么固定点是什么?我们试试repeat 1
。
λ <*Main Data.Function>: repeat 1
[1,1,1,1,1,1, and so on
λ <*Main Data.Function>: (\x->1:x) $ repeat 1
[1,1,1,1,1,1, and so on
它是一样的!由于这是唯一的固定点,fix
必须解决它。抱歉fix
,没有无限循环或未定义。