Scipy linalg LU分解给我的教科书带来了不同的结果

Question

我正在完成Saul I. Gass的第5版“线性规划”。

他给出了以下文字和例子： ＆＃34;给定nxn非奇异矩阵 A ，则 A 可表示为 A = LU ......如果我们让 U （或 L ）的对角线元素都等于1，那么 LU 分解将独一无二......＆＃34;

我设法从这个SO问题中找到了这个代码的可逆上下分解：Is there a built-in/easy LDU decomposition method in Numpy?

但我仍然无法分辨出发生了什么以及为什么 L 和 U 与我的教科书如此不同。任何人都可以向我解释一下吗？

所以这段代码：

import numpy as np
import scipy.linalg as la
a = np.array([[1, 1, -1],
              [-2, 1, 1],
              [1, 1, 1]])
(P, L, U) = la.lu(a)

print(P)
print(L)
print(U)

D = np.diag(np.diag(U))   # D is just the diagonal of U
U /= np.diag(U)[:, None]  # Normalize rows of U
print(P.dot(L.dot(D.dot(U))))    # Check

给出了这个输出：

[[ 0.  1.  0.]
 [ 1.  0.  0.]
 [ 0.  0.  1.]]
[[ 1.   0.   0. ]
 [-0.5  1.   0. ]
 [-0.5  1.   1. ]]
[[-2.   1.   1. ]
 [ 0.   1.5 -0.5]
 [ 0.   0.   2. ]]
[[ 1.  1. -1.]
 [-2.  1.  1.]
 [ 1.  1.  1.]]

Answer 1

可以选择哪个矩阵（ L 或 U ）应该在对角线上有一个矩阵。教科书示例选择了 U ，但是scipy的实现选择了 L 。这解释了差异。

为了说明这一点，我们可以扭转局面：

(P, L, U) = la.lu(a.T)

print(P.T)
# [[ 1.  0.  0.]
#  [ 0.  1.  0.]
#  [ 0.  0.  1.]]
print(L.T)
# [[ 1.          1.         -1.        ]
#  [ 0.          1.         -0.33333333]
#  [ 0.          0.          1.        ]]
print(U.T)
# [[ 1.  0.  0.]
#  [-2.  3.  0.]
#  [ 1.  0.  2.]]

通过转置矩阵，我们基本上交换了 U 和 L ，以便其他矩阵在对角线上得到1。而且，瞧，结果和教科书一样。

（请注意，如果置换矩阵 P 不是单位矩阵，结果看起来会有所不同。）