Question

我有这些定义（删除了无效的定义）

open import Agda.Builtin.Nat renaming (Nat to ℕ)

infix 3 _>0
data _>0 : ℕ → Set where
  intro : ∀ n → suc n >0

infix 4 _*>0_
_*>0_ : ∀ {a b} → a >0 → b >0 → a * b >0
intro n *>0 intro m = intro (m + n * suc m)

infix 5 _÷_⟨_⟩
data ℚ : Set where
  _÷_⟨_⟩ : (a b : ℕ) → b >0 → ℚ

我想证明这是真的：

open import Agda.Builtin.Equality

div-mul-comm : ∀ a c d → (x : c >0) → (y : d >0) →
               a ÷ c * d ⟨ x *>0 y ⟩ ≡ a ÷ d * c ⟨ y *>0 x ⟩
div-mul-comm a c d x y = ?

但无论我尝试过什么，我都无法证明这一点，错误信息也很奇怪这就是我尝试过的：

postulate nat-multiply-comm : ∀ a b → a * b ≡ b * a

div-mul-comm a c d x y
  rewrite nat-multiply-comm c d = {!!}

阿格达说：

c * d！=类型ℕ
的w   当检查类型
时   （c d w：ℕ）→
  w≡d* c→
  （a：ℕ）（x：c> 0）（y：d> 0）→
  a÷w⟨x*＆gt; 0y⟩≡a÷d *c⟨y*＆gt; 0 x⟩
  生成函数的结构良好

Answer 1

此处的问题是，当您将c * d重写为d * c时，您还需要将x *>0 y的证明c * d >0修补为d * c >0的证据}。

我个人会介绍两个中间引理：

>0-irrelevant : ∀ a → (p q : a >0) → p ≡ q

允许您根据需要交换a >0周围的证据。和

div-subst : ∀ a b c → b ≡ c → (p : b >0) (q : c >0) →
            a ÷ b ⟨ p ⟩ ≡ a ÷ c ⟨ q ⟩

允许您使用相等的值替换ℚ的第二个组件，并将现在过时的证明p : b >0替换为另一个q : c >0。 >0-irrelevant将有助于证明这第二个引理。

Agda的`rewrite`失败，错误提到变量“w”

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