Question

我正在尝试解决算法问题，这需要我根据其素因子的词典顺序对大小为N（N <= 1e6）的数字列表进行排序。列表中的每个数字都在[2,1e6]中。

Link问题。

例如，

2 3 4 5 6

将排序为：

2 4 6 3 5

他们的主要因素如下所示：

我的尝试：

我可以通过对每个数字使用O（logn）素因子化方法并将其存储到1e6 * 21 2d数组中来为此设计正确的解决方案，因为所有数字＆lt; = 1e6最多可以有20个自2 ^ 20以来的主要因素1E6。

此后，我使用这些素因子的词汇顺序对每个数字进行排序。

我的程序能够在2秒的时间限制内运行，但使用的内存太多（内存限制为32mb）。

有人可以告诉我更好的方法来解决这个问题吗？

P.S。这个问题被标记为“深度优先搜索”，但无论如何我都看不出它是如何工作的。

Answer 1

这对我来说听起来像是一个分区问题。第一步是对数组进行分区，使得除以2的数字首先出现。然后将那个组除以第二次除以2的那些。递归，直到你有一个空的子组。现在再次使用除数为3.继续列出素数列表，直到达到sqrt（1e6）或者您已找到每个数字的所有除数。

Answer 2

由于您已经处于时间限制之内，因此您只需要一种更有效的方法来存储每个数字的所有素数因子，以便您可以轻松查找它们。您可以使用2级查找表执行此操作。

在一个表格中，存储数字时最多存储1e3（1000）。这将需要1e3 x 10 2d阵列（1000 x 10 x 4 = 10000字节）。

要存储最多1e6的数字的所有素因子，您需要为每个存储最多3个数字（即1200万字节）。要计算3个数字，请从素数因子列表开始，然后将它们相乘，直到不能超过1000而将其相乘。将其存储在第一个条目中，然后对余数进行相同处理并存储在第二个数字，如果剩下任何一个，只需将它放在第三个位置（你永远不需要超过3个 - 如果你有4个就意味着最后两个相乘将超过1000，这意味着第一个乘以一起的2将<＆lt; 1000，在这种情况下它们不会被单独存储）。如果列表中存在超过1000的素因子，则只需要2，因为所有其他因子将乘以＆lt; 1000。

要检索条目的素数因子的原始列表，请取三个数字中的每一个（将是素数或复数1000或更少或素数> 1000），如果它们低于1000，则查找其中的主要因子小表，如果不按原样，你可以重建列表。

例如存储515130（2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 223）

1st number: 210 (2*3*5*7) can't multiply by 11 without going over 1000
2nd number: 11 (prime) can't multiply by 223 without going over
3rd number: 223

667023（3 * 7 * 23 * 1381）

1st: 438 (3*7*23)
2nd: 1381 (prime)

即使素数因子列表未排序，这也会有效。

Answer 3

实际上，对我的算法进行了简单的修改就可以了。我没有存储每个整数的素数分解，而是利用了我已经拥有的东西，这是一种在O（logn）中工作的素数分解方法。我创建了一个自定义排序方法，使用分解方法对两个整数进行分解，同时比较它们的素因子。因此，时间复杂度保持不变，并且不需要存储任何整数的素数因子分解。

对于那些想知道这种快速因子分解方法是如何工作的人来说，这里是link（参见使用最低除数的方法）。

对于面临同样问题的未来读者，这是我接受的代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>

#define FACTOR_LIM (int) 1e6+2 // used by preFactor(n). Defined as <= n <= 1e8

using namespace std;

int lowestDiv[FACTOR_LIM+1], a[FACTOR_LIM], n;

void preFactor(int n) {
    int root = 2;
    for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
        if(lowestDiv[i]) continue;
        root = lowestDiv[i] = i;
        for(int j = i*i; j <= n; j+=i) {
            lowestDiv[j] = (lowestDiv[j]) ? lowestDiv[j] : i;
        }
    }
    for(int i = root; i <= n; i++) {
        if(!lowestDiv[i]) {
            lowestDiv[i] = i;
        }
    }
}

bool cmp(const int i, const int j) {
    int x = i, y = j;
    while (x != y) {
        int p = lowestDiv[x];
        int q = lowestDiv[y];
        if (p != q) return p < q;
        x /= p;
        y /= q;
    }
    return false;
}

int main() {
    preFactor(FACTOR_LIM-1);
    scanf("%d",&n);

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    sort(a,a+n,cmp);

    for(int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d\n",a[i]);
    }
    return 0;
}

按字母顺序排列其主要因素

3 个答案: