[1,1e18]中的正整数数不能被[2,10]中的任何整数除

Question

我在尝试解决以下问题时遇到了困难：

  

对于Q查询，Q＆lt; = 1e6，其中每个查询是正整数N，N <= 1e18，找到[1，N]中不能为的整数数   每个查询除以[2,10]中的整数。

我想过使用筛子方法来筛选每个查询[1,1e18]中的数字（类似于eratosthenes的筛子）。但是，N的值可能非常大。因此，我无法使用这种方法。我能做出的最有用的观察是以0,2,4,5,6,8结尾的数字是无效的。但这对我这个问题没有帮助。

我看到了类似problem的解决方案，该解决方案使用较少数量的查询（Q <= 200）。但它对这个问题并不起作用（我不理解这个解决方案）。

有人可以告诉我如何解决这个问题吗？

Answer 1

[2,10]中唯一的问题是那些2, 3, 5, 7

的素数

所以，比方说，[2,10]中的数字不能用整数除以数字不能除以{2,3,5,7}

这也等于[1,n]减去被{2,3,5,7}的任意组合除以的所有数字之间的总数。

所以，这是有趣的部分：来自[1,n]有多少数字除以2？ 答案是n/2（为什么？简单，因为每2个数字，有一个数字除以2）

同样，有多少数字除以5？答案是n/5 ...

那么，我们有答案吗？不，因为我们发现我们已经加倍计算那些除以{2,5}或{2,7}的数字......，所以现在我们需要减去它们。

但是等等，似乎我们是双倍减去那些除以{2,5,7} ...所以我们需要把它加回来

...

继续这样做，直到所有组合都得到照顾， 所以应该有2 ^ 4组合，总共16个，相当小的处理。

查看Inclusion-Exclusion principle以获得一些好的理解。

祝你好运！

Answer 2

以下是如何处理此问题的方法。

开始的地方是考虑如何将其拆分成碎片。有了这样的问题，一个起点就是最小公分母（LCD） - 在这种情况下为2,520（所有小于10的数字都可以分割的最小数字）。

这个想法是，如果x不能被2-10中的任何数字整除，那么x + 2,520也不能被整除。

因此，您可以将问题分为两部分：

1. 1到2,520之间的数字是2-10的数字“相对素数”？
2. 2,520进入您的目标号码多少次？您还需要考虑其余部分。