Question

在我的堆和未排序列表中插入100000000个元素后，堆插入实际上似乎更快（12秒对20秒）。为什么是这样？我相信堆插入是O(logn)而未排序列表插入是O(1)。我还注意到我的堆插入实现实际上并没有随着输入的数量而扩展。这也让我感到困惑。

以下是我运行的代码：

int main ()
{
    clock_t unsortedStart;
    clock_t heapStart;

    double unsortedDuration;
    double heapDuration;

    int num_pushes = 100000000;
    int interval = 10000;

    ofstream unsorted ("unsorted.txt");
    ofstream heap ("heap.txt");

    UnsortedPQ<int> unsortedPQ; 
    HeapPQ<int> heapPQ; 

    unsortedStart = clock();

    for (int i = 0; i < num_pushes; ++i)
    {
        if (i % interval == 0) {
            unsortedDuration = ( clock() - unsortedStart ) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
            unsorted << unsortedDuration << " " << i << endl;
        }

        unsortedPQ.insertItem(rand() % 100);
    }

    heapStart = clock();
    for (int i = 0; i < num_pushes; ++i)
    {
        if (i % interval == 0) {
            heapDuration = ( clock() - heapStart ) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
            heap << heapDuration << " " << i << endl;
        }
        heapPQ.insertItem(rand() % 100);
    }
    return 0;
}

这是insert的堆实现（使用std::vector）：

template <class T>
void HeapPQ<T>::insertItem(T data) { 
    //insert into back of heap (std::vector)
    dataArray.push_back(data);
    int i = dataArray.size() - 1;

    //sifts the inserted element up
    while (i != 0 && dataArray[(i - 1) / 2] > dataArray[i]) {
        swap(dataArray[i], dataArray[(i - 1) / 2]);
        i = (i - 1) / 2;
    }
}

这是insert的未排序列表实现（使用std::list）：

//pushes element to the back of a std::list
template <class T>
void UnsortedPQ<T>::insertItem(T data) { dataList.push_back(data); }

Answer 1

插入堆中的是O(logn)，这意味着每次插入最多只需O(logn)步。这并不意味着它必须。

在您的示例中，插入元素的平均成本为O(1)。为什么？

为简单起见，我们假设您只是按随机顺序插入0个和1（在当前版本中只有0..99 rand() % 100 2*n插入 - 计算更复杂，但行为保持不变）。插入n个元素后，堆中会有0 n个和1 0 0 0 00 00 ............... 0 0 0 0 0 0 0 11 11 11 11 11 11 11个，堆的外观如下：< / p>

基本上，k都位于最后一级0，0..k-1位于1级。

如果插入了2，则无需执行任何操作（上面没有0）。
如果插入了1，则最多只有一个交换（0.5 s可能位于最后一个级别之上，但上面有2个级别。“

平均而言，我们只需要k次互换，而不是new。

具有相同的渐近运行时间，这完全取决于插入向量和列表中的（分摊的）成本。列表似乎更慢（我的假设是，对于每个插件，它需要通过[0..99]在堆上分配一个元素，这是一个非常慢的操作。成本取决于其他因素，例如大小插入的对象，因此它可以改变哪一个更快。）

让我们仔细研究一下您的案例，其中数字是由统一的分配n>>100生成的。在k插入后，我们会遇到以下情况（涉及到一些挥手，但要点应该清楚）：

堆的最后一级（n/2 - th）有50..99个元素，由数字50..99组成。因此，对于50％的可能数字（即k-1），不需要转换。
堆的第二个最后一级（n/4 - th）有25..49个元素，由数字k-2组成。这意味着25％的可能数字恰好需要1班。
级别n/8包含13..24个元素，由数字log 100/log 2组成。
0以上的级别内部只有m=log 100/log 2个。因此，最大可能的移位数为n，与log 100/log 2无关 - 堆中元素的数量。

因此插入的最坏情况成本为E(insertion)=0*1/2+1*1/4+2*1/8+...<=1.0，平均成本甚至更低：

O(1)

即。平均而言，每次插入不到1次。

注意：这并不意味着，在堆中插入已经分摊99的成本 - 如果您不是按随机顺序插入数字，而是先插入所有98 s，那么{{1 }}，...，然后0 s每次插入会产生O(log n)的费用。

为什么这种插入比插入未排序列表更快？

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