无法理解长双数如何大于2 ^ 80

Question

所以我正在解决泰勒系列赛，就在这里：

这是代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<conio.h>  
#include<stdio.h>  
#include<math.h>  
long double Fact(long double h) { 
if (h <= 0) return 1; 
else return h*Fact(h - 1); 
 } 

void main(void) { 
int p = 0; 
long double s = 0, k = 0, c = 0, l = 0,d=0; 
int n = 0, x = 0; 
printf(" n "); 
scanf("%d", &n);  
printf(" x "); 
scanf("%d", &x); 
d = x; 
while (n>=0) { 
  k = pow(-1, n); 
  c = (2 * n + 1); 
  l = Fact(c); 
  d = pow(x, 2 * n + 1);  
  s = s+ ((k / l)*d); 
  n = n - 1; 
   } 
printf("Result : %.16LG\n", s); 
_getch(); 
 }

问题是：如果我输入n = 16和x = 2,147,483,646，但是如果它仍然写出正确的结果（我将程序的结果与wolfram alfa进行比较），那么long double怎么可能比2 ^ 80值更重要？ ）

Answer 1

假设您正在讨论2 ^ 80，因为您假设大小为80位的浮点数可以存储最多2个 ⁸⁰ 的数字。您对浮点数的理解是错误的。与编号为二进制数的无符号整数不同，浮点数的编码不同。

您可以在wikipedia上了解更多信息，但基本思路是浮点数编码为

sign * something * 2^something_else

这里的重要部分是2^something_else。对于32 FP号something_else（指数）是8位长，因​​为一些特殊情况意味着对于正常数字它可以−126到+127，假设它是80位的长双x86 FP可以转到16383：

Answer 2

让我们想象一下，我决定创建自己的数据类型，我称之为bloat（如float，geddit？）。这种类型只有一个字节宽（8位）并使用以下表示：位＃0（最不重要的一个）具有权重4 ⁰ = 1，位＃1具有权重4 ¹ = 4，位＃2的重量为4 ² = 16，位＃3的重量为4 ³ = 64，依此类推。 / p>

00010001中的位bloat组合代表1 + 256 = 257。 bloat中可表示的最大值为11111111，即21845。所以，在这里：使用我刚刚发明的bloat类型，我设法在8位内存中代表值21845。 21845大于2 ¹⁴ ，但我设法将其挤压成8位！我是如何实现这一目标的？

简单：为了＆＃34;伸展＆＃34;我的类型的明显范围我牺牲了一些中间值。例如，我的bloat类型不能代表数字2。它不能代表数字66。等等。我21845无法代表bloat下的许多值。如果您计算我的bloat 可以表示的所有可能的不同值，您会发现它们确实有256个，即正好2 ⁸ 不同值是可表示的。

浮点类型，就像你的long double采用几乎相同的原则来＆＃34;伸展＆＃34;他们的范围。它们的内部格式和属性比我的bloat更复杂，但基本思想是相同的：80位浮点类型的绝对范围远大于2 ⁸⁰ 因为它＆＃34;跳过＆＃34; （不能代表）该范围内的许多和很多值。

其内部代表的确切详情为widely available on the Net。

Answer 3

x86扩展精度格式（如果这是引导你引用80位的那个）有63个尾数位和15个指数位（16383偏置，值32767保留）。

因此它可以表示的最大值非常接近2 x 2 ^（32766-16383）~1.189731 x 10 ^ 4932，远远超过2 ^ 80。

具有普通IEEE双精度的最大可表示数字约为1.79769 x 10 ^ 308。