Question

我是编程新手，特别是python，但我正在努力学习它，到目前为止我发现它非常迷人。

我有30个固定坐标x和y的列表。

x = np.array([[13,10,12,13,11,12,11,13,12,13,14,15,15,16,18,2,3,4,6,9,1,3,6,7,8,10,12,11,10,30]])
y = np.array([[12,11,10,9,8,7,6,6,7,8,11,12,13,15,14,18,12,11,10,13,15,16,18,17,16,15,14,13,12,3]])

我想找到一个优化的（集中式）位置，通过查找最小距离，最多可以连接10个固定坐标。

我厌倦了使用优化算法，但我只能得到一个坐标列表的最佳位置（即我不能将位置约束到10个坐标）。

任何帮助将不胜感激。

def objective(x):
    px = x[0]
    py = x[1]
    wdistance = sum(((px - wx)**2 + (py - wy)**2)**0.5)
    tdistance = (((px - tx)**2 + (py - ty)**2)**0.5)
    cost = wdistance * 2.5 + tdistance * 5 
    return cost

# initial estimate of the centralized location 
x0 = [10,10]

# boundary values for the centralized locations 
bnds = ((0,15), (0,15))
sol = minimize(objective, x0, bounds=bnds, method='SLSQP')

print(sol)

Answer 1

正如我的评论中所指出的，我认为这个问题是NP-hard，因此解决它并不容易。

这是某种基数约束的问题，这意味着，通常很难/不可能使用连续优化（假设几乎所有scipy.optimize中的所有内容）。

此外，最小化最小距离并不是特别顺利，几乎所有内容都在scipy中。但重新制定是可能的（至少在支持约束的情况下！）。

如果没有基数约束（这个问题的离散性的核心），它就会崩溃到Smallest Enclosing Circle Problem 问题中，很容易在线性时间内解决。更一般wiki-article。但这对于给定的问题没有多大帮助。

这是一个演示，可能不适合胆小的人（取决于背景知识）：

基于Mixed Integer Second Order Cone Programming
- 将在无限时间内解决最优性（epsilon-approximation）（忽略数值问题; fp-math）
- 没有超过NP硬度;但可能善于利用数据中的某种结构
- 对于基于欧氏距离（标准）的问题感到自然
使用cvxpy作为建模工具
使用ECOS_BB作为解算器
- 警告：这是一个概念验证/玩具解决方案（我们将在结果中看到）
- MISOCP / MICP是一个活跃的研究领域，但非商业专业解决方案的数量很少！
  - 可能应该使用Pajarito，而不是ECOS_BB，可能使用Bonmin或商业广告（Gurobi，CPLEX，Mosek和co。）
  - Pajarito，看起来很有趣julia based和（imho）与python一起使用并不好玩;因此，请将我的代码视为演示解算器的演示！

以下代码将解决20个问题中的10个问题（前20个问题;为了更好的可视化，丢弃了一个复制品！）

对于完整的问题它将失败（将返回相当不错的近似值;但不是最佳的！）。我责备ECOS_BB（但同时非常感谢Han Wang的代码！）。通过更好的替代方案，您的问题肯定会很容易解决。但是不要指望任何解算器能够做到1000分： - ）。

代码：

import numpy as np
import cvxpy as cvx
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.spatial.distance import pdist

""" (Reduced) Data """
# removed a duplicate point (for less strange visualization)
x = np.array([13,10,12,13,11,12,11,13,13,14,15,15,16,18,2,3,4,6,9,1])#,3,6,7,8,10,12,11,10,30])
y = np.array([12,11,10,9,8,7,6,6,8,11,12,13,15,14,18,12,11,10,13,15])#,16,18,17,16,15,14,13,12,3])
N = x.shape[0]
M = 10

""" Mixed-integer Second-order cone problem """
c = cvx.Variable(2)                                # center position to optimize
d = cvx.Variable(N)              # helper-var: lower-bound on distance to center
d_prod = cvx.Variable(N) # helper-var: lower-bound on distance * binary/selected
b = cvx.Bool(N)                          # binary-variables used for >= M points

dists = pdist(np.vstack((x,y)).T)
U = np.amax(dists)    # upper distance-bound (not tight!) for bigM-linearization

helper_expr_c_0 = cvx.vec(c[0] - x)
helper_expr_c_1 = cvx.vec(c[1] - y)

helper_expr_norm = cvx.norm(cvx.hstack(helper_expr_c_0, helper_expr_c_1), axis=1)

constraints = []
constraints.append(cvx.sum_entries(b) >= M)           # M or more points covered
constraints.append(d >= helper_expr_norm)             # lower-bound of distances
constraints.append(d_prod <= U * b)                   # linearization of product
constraints.append(d_prod >= 0)                       # """
constraints.append(d_prod <= d)                       # """
constraints.append(d_prod >= d - U * (1-b))           # """

objective = cvx.Minimize(cvx.max_entries(d_prod))

problem = cvx.Problem(objective, constraints)
problem.solve(verbose=False)
print(problem.status)

# Visualization

center = np.array(c.value.flat)
tmp = np.array(np.round(b.value.T.flat), dtype=int)
selected_points = np.where(tmp == 1)[0]
non_selected_points = np.where(tmp == 0)[0]

ax = plt.subplot(aspect='equal')
ax.set_title('Optimal solution radius: {0:.2f}'.format(problem.value))
ax.scatter(x[non_selected_points], y[non_selected_points], c='blue', s=70, alpha=0.9)
ax.scatter(x[selected_points], y[selected_points], c='magenta', s=70, alpha=0.9)
ax.scatter(c[0].value, c[1].value, c='red', s=70, alpha=0.9)
circ = plt.Circle((center[0], center[1]), radius=problem.value, color='g', fill=True, alpha=0.1)
ax.add_patch(circ)
plt.tight_layout()
plt.show()

输出：

optimal

简介：

修改

我将上面的代码移植到julia，以便能够使用上面提到的求解器Pajarito。尽管过去对我来说没有太多的julia编程，但它现在正在运作：

使用Convex.jl作为建模工具

上面基于cvxpy的代码的近1：1映射！

使用3个开源求解器的组合：

Pajarito作为MISOCP / MICP求解器

使用GLPK作为内部MIP解算器（硬币CBC通常要好得多;但由于Pajarito中可能存在错误而无法为我工作）

使用ECOS作为内部Convex-solver

重复使用上面基于matplotlib的绘图代码;手工复制的结果值： - ）

这种方法正在解决您的完整问题（我再次删除了重复点）以达到最佳状态！

它输出一些数值不稳定警告，但声称结果是最佳的！（Pajarito仍然是相当新的研究软件，我没有调整众多选项;我们使用的开源解算器与商业替代品相比并不那么强大）

我对结果非常满意，我很高兴我试试了Julia / Convex.jl / Pajarito！

代码：

using Convex, Pajarito, ECOS, GLPKMathProgInterface # DATA x = [13 10 12 13 11 12 11 13 13 14 15 15 16 18 2 3 4 6 9 1 3 6 7 8 10 12 11 10 30] y = [12 11 10 9 8 7 6 6 8 11 12 13 15 14 18 12 11 10 13 15 16 18 17 16 15 14 13 12 3] N = size(x)[2] M = 10 # MISOCP c = Variable(2) d = Variable(N) d_prod = Variable(N) b = Variable(N, :Bin) U = 100 # TODO # Objective problem = minimize(maximum(d_prod)) # Constraints problem.constraints += sum(b) >= M problem.constraints += d_prod <= U*b problem.constraints += d_prod >= 0 problem.constraints += d_prod <= d problem.constraints += d_prod >= d - U * (1-b) for i = 1:N problem.constraints += d[i] >= norm([c[1] - x[i], c[2] - y[i]]) # ugly end # Solve mip_solver_drives = false log_level = 2 rel_gap = 1e-8 mip_solver = GLPKSolverMIP() cont_solver = ECOSSolver(verbose=false) solver = PajaritoSolver( mip_solver_drives=mip_solver_drives, log_level=log_level, rel_gap=rel_gap, mip_solver=mip_solver, cont_solver=cont_solver, init_exp=true, ) # option taken from https://github.com/JuliaOpt/Pajarito.jl/blob/master/examples/gatesizing.jl # not necessarily optimal solve!(problem, solver) # Print out results println(problem.status) println(problem.optval) println(b.value) println(c.value)

输出：

Problem dimensions: variables | 120 constraints | 263 nonzeros in A | 466 Cones summary: Cone | Count | Min dim. | Max dim. Second order | 29 | 3 | 3 Variable types: continuous | 91 binary | 29 Transforming data... 1.10s Creating conic subproblem... 0.52s Building MIP model... 2.35s Solving conic relaxation... 1.38s Starting iterative algorithm 0 | +Inf | +3.174473e-11 | Inf | 6.434e+00 Warning: numerical instability (primal simplex, phase I) Iter. | Best feasible | Best bound | Rel. gap | Time (s) 1 | +2.713537e+00 | +2.648653e+00 | 2.391e-02 | 1.192e+01 Warning: numerical instability (primal simplex, phase I) Warning: numerical instability (primal simplex, phase I) Warning: numerical instability (dual simplex, phase II) ... some more ... 2 | +2.713537e+00 | +2.713537e+00 | 5.134e-12 | 1.341e+01 Iterative algorithm summary: - Status = Optimal - Best feasible = +2.713537e+00 - Best bound = +2.713537e+00 - Relative opt. gap = 5.134e-12 - Total time (s) = 1.34e+01 Outer-approximation cuts added: Cone | Relax. | Violated | Nonviol. Second order | 58 | 32 | 24 0 numerically unstable cone duals encountered Distance to feasibility (negative indicates strict feasibility): Cone | Variable | Constraint Linear | NA | 5.26e-13 Second order | NA | 2.20e-11 Distance to integrality of integer/binary variables: binary | 0.00e+00 Optimal 2.7135366682753825 [1.0; 1.0; 1.0; 1.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 1.0; 1.0; 1.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 0.0; 1.0; 1.0; 1.0; 0.0] [12.625; 11.6875]

可视化：

还有一个选择23的情节：

找到坐标x和y列表的优化位置

1 个答案:

代码：

输出：

简介：

代码：

输出：

可视化：