Question

如果我将simp-method应用于包含if-expression的目标，则简化器会自动引入区分大小写：

lemma "undefined (if x then True else False)"
  apply simp

这给出了目标：

(x ⟶ undefined True) ∧ (¬ x ⟶ undefined False)

我的问题是：简化器是如何做到这一点的？我可以找到一个简化规则，如果可以想象会导致这种行为，也不会简单。如何为其他类似if的常量获得类似的行为？

Answer 1

拆分器启用了该功能。简化器本身是一个很大的循环，它不仅可以在重新开始重写之前执行重写，还可以执行各种其他操作。

对于if，相关split规则为if_splits：

?P (if ?Q then ?x else ?y) = ((?Q ⟶ ?P ?x) ∧ (¬ ?Q ⟶ ?P ?y))
?P (if ?Q then ?x else ?y) = (¬ (?Q ∧ ¬ ?P ?x ∨ ¬ ?Q ∧ ¬ ?P ?y))

第一个split规则适用于结论中if _ then _ else _的出现，后者适用于前提中的出现。（这两条规则分别以if_split和if_split_asm提供。）

数据类型的

case常量具有类似的规则，例如bool.splits：

?P (case ?bool of True ⇒ ?f1.0 | False ⇒ ?f2.0) =
  ((?bool = True ⟶ ?P ?f1.0) ∧ (?bool = False ⟶ ?P ?f2.0))
?P (case ?bool of True ⇒ ?f1.0 | False ⇒ ?f2.0) =
  (¬ (?bool = True ∧ ¬ ?P ?f1.0 ∨ ?bool = False ∧ ¬ ?P ?f2.0))

可以使用split对规则进行注释，将规则声明为[split]规则。

更多信息可以在reference manual的§9.3.1中找到。整个小节§9.3更详细地解释了简化器（虽然很多关于简化器的知识基本上都是“古老的智慧”）。

Isabelle简化器为if语句引入了区分（为什么？当？）

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