用X增加步态的步进功能

Question

我觉得自己像个傻瓜，因为没有看到如何表达这一点。

我需要一个近似于线性函数的阶跃函数，频繁的小步长接近0且更少，更大的步长随着X的增长，接近一些标称的最大步态。

e.g。

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Answer 1

我假设您需要一个函数，其图形是示例中的水平线。

如果您检查位于该行的图表角落，您会看到x - 坐标（以及y - 坐标）是三角形数字{{1它们是算术系列0, 1, 3, 6, 10, 15, ...

的部分和

众所周知，第n个三角数的公式是

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...

这是x = n*(n+1)/2 中的二次方程式。如果我们解决n的等式并取正偏，我们得到

n

因此，给定一个水平线段上的任何点，我们可以通过获取该表达式的整数部分（floor）来找到它是哪个段。然后，我们使用原始表达式为该段找到适当的n = (-1 + sqrt(8*x + 1)) / 2 值。因此，我们的最终表达，略微简化，是

y

请注意，0.5 * int((-1 + sqrt(8*x + 1))/2) * int((1 + sqrt(8*x + 1))/2) 的上述表达式未定义，x < -1/8的表达式为零。为了避免这些，只有-1/8 <= x < 0的图表。这是一行中的表达。在计算机程序中，可以实现一些明显的效率，例如在使用函数值x >= 0之前计算n = int((-1 + sqrt(8*x + 1))/2)。您还可以避免负0.5 * n * (n + 1)值。

以下是生成的图表（不幸的是留在x的值中），为了清晰起见，添加了垂直虚线和对角线。