Question

将两个复数相乘的时间复杂度是多少？例如（35 + 12i）*（45 + 23i）

Answer 1

渐近复杂度与乘法组件相同。

(35 + 12i) * (45 + 23i) == 35*45 + 45*12i + 35*23i - 12*23
                        == (35*45 - 12*23) + (45*12 + 35*23)i

你只有4个实数乘法和2个实数加法。

因此，如果实数乘法是O（1），那么复数乘法也是如此。

如果实数乘法不是常数（就像任意精度值的情况一样），那么它们都不是复数乘法。

Answer 2

如果将两个复数（a + bi）和（c + di）相乘，则计算结果为（ac-bd，adi + bci），这需要总共四次乘法和两次减法。加法和减法比乘法花费的时间更少，因此主要成本是这里完成的四次乘法。由于四是常量，因此与实数相比，这不会改变执行多重操作的大O运行时间。

让我们假设您有两个数字n ₁和n ₂，每个数字都是d位长。如果您使用小学 - 学校方法将这些数字相乘，您可以执行以下操作：

for each digit d1 of n2, in reverse:
    let carry = 0
    for each digit d2 of n1, in reverse:
        let product = d1 * d2 + carry
        write down product mod 10
        set carry = product / 10, rounding down

add up all d of the d-digit numbers you wrote in step 1

第一个循环在时间Θ（d ²）中运行，因为n2中的每个数字都配对并与n1的每个数字相乘，每个执行O（1）个工作。结果是d个不同的d位数字。加上这些数字需要时间Θ（d ²），因为你必须扫描每个数字的每个数字一次。总的来说，这需要时间Θ（d ²）。

请注意，此运行时是 n1和n2中有多少位的函数，而不是n1和n2本身。数字n中的位数是Θ（log n），因此如果你将两个数字n1和n2相乘，这个运行时实际上是O（（log max {n1，n2}）²）

这是不是做乘法的最快方法，虽然有一段时间有一个猜想它是。 Karatsuba's algorithm及时运行O（（log max {n1，n2}）^{log ₃ 4}），其中指数约为1.7ish。有更多的现代算法运行得更快，并且它是一个开放的问题，是否可以在没有指数的时间O（log d）完成！

Answer 3

将两个复数相乘仅需要三个实数乘法。

让p = a * c，q = b * d，并且r =（a + b）*（c + d）。

然后（a + bi）*（c + di）=（p-q）+ i（r-p-q）。

另请参阅Complex numbers product using only three multiplications。

乘以2个复数的大O？

3 个答案: