Question

我尝试使用有限元来解决二维扩散方程：

    FluentWait<WebDriver> wait = new FluentWait<WebDriver>(driver)
            .withTimeout(120, TimeUnit.SECONDS)
            .pollingEvery(1, TimeUnit.SECONDS)
            .ignoring(NoSuchElementException.class);

P的初始条件是高斯分布。

但是，当增加k（我的代码中k = 30）时，P会爆炸。然而，P应该减少，因为它是扩散方程的解。

我不知道P（i，j，k + 1）中的问题，如何解决这个问题？

由于

Answer 1

在您的代码中P(1, :, :)，P(101, :, :)，P(:, 1, :)和P(:, 101 , :)的值始终为零。这意味着在二维框的边界处P始终为零。它不遵守扩散定律。

首先，您应该为边界提供一个初始条件。

% Initial Condition
mu = 0.5;
sigma = 0.05;
for i=1:numx
    for j=1:numy
        P(i,j,1) = exp(-( (x(i)-mu)^2/(2*sigma^2) + (y(j)-mu)^2/(2*sigma^2))/(2*sigma^2)) / sqrt(2*pi*sigma^2);           
     end
 end

然后在扩散过程中计算边界处的P值。

% Diffusion Equation
for k=1:numt
   for i=2:numx-1
       for j=2:numy-1
           P(i,j,k+1) = P(i,j,k) + .5*(dt/dx^2)*( P(i+1,j,k) - 2*P(i,j,k) + P(i-1,j,k) ) + .5*(dt/dy^2)*( P(i,j+1,k) - 2*P(i,j,k) + P(i,j-1,k) ); 
       end
   end

   % calculate the value of P at the boudary
   P(1, :, k + 1) = 2 * P(2, :, k + 1) - P(3, : , K + 1);
   P(numx, :, k + 1) = 2 * P(numx - 1, :, k + 1) - P(numx - 2, : , K + 1);
   P(:, 1, k + 1) = 2 * P(:, 2, k + 1) - P(:, 3 , K + 1);
   P(:, numy, k + 1) = 2 * P(:, numy - 1, k + 1) - P(:, numy - 2 , K + 1);
end

使用有限元方法求解二维扩散方程（热方程）但爆炸

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