为什么傅里叶域中的零填充会导致复变的逆变换？

Question

如果我从一个只有真值的信号开始，执行fft和ifft会返回准确的信号，没有预期的复杂条目。但是，如果我用零填充fft以获得时域中的插值，则反fft总是变为复数双。我已经注意执行fftshift（）然后在两侧打垫，这样对称性就不会被打破。以下是一个示例代码，显示了此行为。我是以错误的方式看待这个问题，还是在零填充过多后计算错误？我该如何克服这个问题？

代码：

%%%%%%%%%

x=linspace(0,2*pi,200);

y = sin(x)+sin(2*x);

Y = fftshift(fft(y));

n=400;

x1 = linspace(0,2*pi,n);

Y1 = zeros(1,n);

Y1((n-200)/2+1:end-(n-200)/2) = Y;

y2 = ifft(fftshift(2*Y1));

plot(x,y);

hold on;

plot(x1,y2(1:end),'x-');

isreal(y)==isreal(y2)

%%

Answer 1

可能是一个错误，或者没有忽略微观的舍入误差值。对于IFFT严格实际的结果（微小数值噪声量除外），复数输入向量必须在元素0周围精确共轭对称（或者对于偶数N，在N / 2周围）。

Answer 2

您的代码有几个小问题：

1. 原始信号的样本数及其FFT应为奇数。要了解原因，请注意FFT的第一个条目是零频率分量，它没有对称频率。 剩余频率的数量应该是偶数，因此它们可以分成两个对称部分，并且可以在两个部分之间插入额外的零。

2. 不应使用linspace创建时间轴。由于linspace修复了两个端点，因此您无法获得2的精确比例因子。为此，您需要使用:（colon）手动创建轴。

3. 第二个fftshift应为ifftshift。这在这里并不重要，因为零填充FFT的大小均匀，因此fftshift和ifftshift重合。但作为一般规则，您应使用ifftshift撤消fftshift的操作。

因此，代码变为：

x = (0:200)/201*2*pi;
y = sin(x)+sin(2*x);
Y = fftshift(fft(y));
x1 = (0:401)/402*2*pi;
Y1 = [zeros(1,101) Y zeros(1,100)];
y2 = ifft(ifftshift(2*Y1)); % or fftshift, since length is even
plot(x,y,'o-');
hold on;
plot(x1,y2,'.:');
isreal(y)==isreal(y2)
max(abs(y-y2(1:2:end))) % should be of the order of eps

现在我们可以检查一下

• 这两个信号都是真实的：

  >> isreal(y)==isreal(y2)
  ans =
    logical
     1
  

  更好的测试是检查y1的虚部（由于数值精度问题而可能不是零），其大小为eps。

• y1的每个其他样本都与y中的相应样本一致，最多为eps的数字错误：

  >> max(abs(y-y2(1:2:end)))
  ans =
       6.661338147750939e-16