Question

在“算法导论”一书中，解决杆切割问题的天真方法可以通过以下重复来描述：

设q是从长度为n的杆获得的最大价格。

让数组价格[1..n]存储给定的价格。 price [i]是长度为i的棒的给定价格。

rodCut(int n)
{
    initialize q as q=INT_MIN

    for i=1 to n
        q=max(q,price[i]+rodCut(n-i))

    return q
}

如果我使用以下方法解决该怎么办：

rodCutv2(int n)
{
   if(n==0)
     return 0

    initialize q = price[n]

    for i = 1 to n/2
        q = max(q, rodCutv2(i) + rodCutv2(n-i))

    return q
}

这种做法是否正确？如果是，我们为什么一般使用第一个？为什么会更好？

注意：我只关心解决这个问题的方法。我知道这个问题表现出最优的子结构和重叠的子问题，并且可以使用动态编程有效地解决。

Answer 1

第二个版本的问题是它没有使用价格数组。没有递归的基本情况所以它永远不会停止。即使你在n == 1时添加一个返回价格[i]的条件，它也总会将把杆切割成尺寸为1的碎片的结果。

Answer 2

您的第二种方法绝对正确，其时间复杂度也与第一种相同。在动态编程中，我们也可以采用相同的方法进行制表。这是我递归的解决方案：

int rodCut (int price[],int n){
      if(n<=0) return 0;
      int ans = price[n-1];
      for(int i=1; i<=n/2 ; ++i){
      ans=max(ans, (rodCut(price , i) + rodCut(price , n-i)));
      }
  return ans;
}

而且，动态编程解决方案：

int rodCut(int *price,int n){
   int ans[n+1];
   ans[0]=0;   // if length of rod is zero
   for(int i=1;i<=n;++i){
       int max_value=price[i-1];
    for(int j=1;j<=i/2;++j){
        max_value=max(max_value,ans[j]+ans[i-j]);
    }
     ans[i]=max_value;
   }
   return ans[n];
}

Answer 3

您的算法看起来几乎正确 - 当n为奇数时，您需要小心。

但是，它在时间复杂度方面也是指数级的 - 在每次调用rodCutv2时都会进行两次递归调用。第一种算法使用memoisation（price数组），因此避免多次计算同一事物，因此更快（它是多项式时间）。

编辑：实际上，第一种算法不正确！它永远不会在prices中存储值，但我怀疑这只是一个错字而非故意。

杆切割算法的替代方法（递归）

3 个答案: