在节点组之间创建边

Question

我有一组N个节点，分为S个子组。每个子组中的节点数并不总是相等，但划分尽可能均匀。

我想创建边以在组之间形成连接，但受限制：

• 每个节点的最大度数为k。
• 每组之间至少有2个连接。

是否有人能够建议是否存在针对此类流程的特定算法或方法？似乎有一种既定的方法，但到目前为止我一直找不到任何东西。

*更新以提供更多信息（10/11）*

简要说明'伪代码'：

• 确定所有N（N-1）/ 2种可能的组合，例如AB，AC，BC等。

  • 遍历每一对
  • 每对：
    • 随机选择第1组中的节点
    • 随机选择第2组中的节点
    • 在以下情况下建立这些节点之间的连接：
      • 两个节点的度数＆lt; ķ
      • 边缘尚不存在
• 重复，直到出现所需的连接数。

我经常遇到的问题是，如果组的数量大于每个组中的节点数，则在后续配对有机会赶上之前，迭代的第一对配对中的节点已满。我试过随机化顺序我迭代可能的对，但它没有帮助。

我通过根据约束在组的形成中得出一些限制，稍微缓解了这个问题。

Answer 1

你在这里描述的是一个微不足道的问题。您在每组节点周围绘制一个“超级节点”曲线。在每对超级节点之间制作两条边。最后，获取每个组/超级节点的边缘端点，并将它们均匀地分布在组的节点中。

根据OP评论更新

这个“早期节点”和“后期节点”是什么？如果您有关于此问题的更多信息，请提供。你分阶段这样做：

1. 将每个组描述为节点集合。
2. 创建连接所有组的N *（N-1）条边;用关联的组标记每个端点。
3. 对于每个组，迭代关联的端点，以循环方式将它们分配给组的节点。

这为您提供了所需的映射，同时最小化了每组中的最大程度。如果存在，这将生成最佳解决方案。

10月11日OP更新的细化

<强>分析

您有 N 个节点和 S 子组（群组）。这意味着每个组中都有 N / S 节点。如果这不是整数，那么在某些组中你会有 P = floor（N / S），而在其他组中会有 P + 1 节点。

你有一个最大学位 k ;您至少有 N（N-1）边缘，每组需要 2（N-1）边缘端点。

引理：较小的组（具有P个节点）可以支持k P连接。 如果k P＆lt; 2（N-1），那么你没有解决方案的要求。 否则（即2（N-1）<= k * P），那么你可以通过施工获得公平的解决方案。

<强>解决方案

以您喜欢的任何方式为每个组内的节点排序;让我们将它们编号为0到P-1或P（取决于组人口）。同样在每个组中，将组的端点编号为0到2（N-1） - 1。

对于每个组，迭代端点。对于每个端点号 i ，将其分配给节点 i mod P （或更大的组的P + 1）。这将在节点之间均匀分配所有端点。

Q.E.D。