Question

我试图在字母{a，b，c}上建立一个DFA，接受所有字符串的连续三个字母。

所以例如它可以接受：aaa，bbb，ccc，abbb，caaac，ccbbbcc，aaabbbc ..

我尝试了不同的方法，但它变成了一个巨大的图表我想知道是否有更优雅的方式来做这个？

Answer 1

首先，你的标题是NFA，但你问题的主体说DFA。我会回答两种方式来说明为什么重要。

首先考虑NFA。我们只想接受具有三个相同类型的连续符号的字符串。有三个符号，因此有三种方式可以发生（假设我们认识到字符串将在第一次出现三个连续符号后被接受）。我们可以看到任何东西，然后是三个相同的符号，然后再看到任何东西。 NFA很容易写下来：

     __
    /  \                  __
    |  / a,b,c           /  \
    V /                  |  / a,b,c
--->q0--a->q1-a->q4-a-\  V /
    | \-b->q2-b->q5-b-->(q7)
    \---c->q3-c->q6-c-/

我们的州执行以下操作：

q0：初始状态接受任何前缀，包括＆＃39; s和c＆＃39>。
q1，q4：只能通过带有aa作为子字符串的字符串访问的状态
q2，q5：只能通过bb作为子字符串的字符串访问的状态
q3，q6：只能通过cc作为子字符串的字符串访问的状态
q7：只接受带有aaa，bbb或ccc作为子字符串的字符串访问的接受状态。

在读取输入字符串的一些前缀后，NFA不确定地分支以检查输入字符串是否包含aaa，bbb或ccc，如果是，则输入q7并接受可能保留的后缀。

要获得DFA，确实是最小的DFA，我建议按照Myhill-Nerode定理进行检查，按字典顺序检查字符串，看看它们是否与我们已经考虑过的字符串有区别，因此设计我们的DFA状态为时间。

空字符串是可区分的。它可以跟随L中的任何字符串以获取L中的字符串。调用其状态[e]。
字符串a可以与空字符串区分开来，因为它可以跟随aaL + L来获取L中的字符串。调用它的状态[a]。
字符串b和c同样可以区分，并且具有状态[b]和[c]。
字符串[aa]是可区分的，因为它可以跟随aL + L来获取L中的字符串。调用其状态[aa]。
字符串bb和cc同样可以区分，并且具有状态[bb]和[cc]。
ba和ca与a无法区分;它们后跟与a相同的字符串，以获取L中的字符串。
ab / cb和ac / bc分别与b和c无法区分。
aaa是可以区分的，因为它可以跟随任何东西，它仍然是该语言的字符串。
bbb和ccc与aaa无法区分。
长度为3的所有其他字符串与a，b，c，aa，bb或cc无法区分（查看此内容）
所有以aaa开头的长度为4的字符串与较短的字符串无法区分（请查看此内容）

因为我们用尽了可辨别的字符串，我们知道我们列出了最小DFA的所有必要状态，我们可以写下答案：

               +---a--->[a]<---a----+
               | +-c--->[c]<---c-+  |
               | |               |  |
     +----b--->[b]-------b------>[bb]---b----+
     |                                       |
     |         +---b--->[b]<---b----+        |   +--+
     |         | +-c--->[c]<---c-+  |        |   |  a,b,c
     |         | |               |  |        V   V  |
--->[e]---a--->[a]-------a------>[aa]---a--->[aaa]--+
     |                                       ^
     |         +---a--->[a]<---a----+        |
     |         | +-b--->[b]<---b-+  |        |
     |         | |               |  |        |
     +----c--->[c]-------c------>[cc]---c----+

（状态[a]，[b]和[c]每次重复两次，以使图表更漂亮。实际上，状态转换图形不是平面的，渲染会很混乱完全没有，更不用说ASCII艺术了。）

请注意，这与我们记下的简单NFA具有相同数量的状态 - 这恰好会消除非确定性。

我们获得转换的方式是通过查看符号s上的状态[x]到状态[y]来查看xs是否与z无法区分。
我们获得初始状态的方式是它总是[e]。
我们获得接受状态的方式是它是唯一可以遵循其字符串的人，以获得L中的字符串。

从字母{a，b，c}构建DFA的最佳方法是什么？

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