如何弄清楚＆＃34; =＆＃34;在coq中表示不同类型

Question

给定Coq中的类型（如List），我如何计算出相等符号＆＃34; =＆＃34;意思是那种类型？我应该键入哪些命令来确定定义？

Answer 1

等号只是eq谓词的特殊中缀语法。也许令人惊讶的是，它的定义方式与每种类型相同，我们甚至可以让Coq为我们打印出来：

Print eq.
(* Answer: *)
Inductive eq (A : Type) (x : A) : Prop :=
| eq_refl : eq x x.

这个定义非常小，可能很难理解发生了什么。粗略地说，它表明显示两个表达式相同的最基本方法是 reflexivity - 也就是说，当它们完全相同时。例如，我们可以使用eq_refl来证明5 = 5或[4] = [4]：

Check eq_refl : 5 = 5.
Check eq_refl : [4] = [4].

这个定义还有很多东西比满足于眼睛。首先，Coq认为任何两个等同于简化的表达式都是相等的。在这些情况下，我们可以使用eq_refl来表明它们也是相同的。例如：

Check eq_refl : 2 + 2 = 4.

这是有效的，因为Coq知道自然数上加法的定义，并且能够机械地简化表达式2 + 2，直到它到达4。

此外，上述定义告诉我们如何使用相等来证明其他事实。由于归纳类型在Coq中的工作方式，我们可以显示以下结果：

eq_elim : 
  forall (A : Type) (x y : A),
    x = y ->
    forall (P : A -> Prop), P x -> P y

释义，当两件事情相等时，任何持有第一件事的事实也都属于第二件事。当你调用rewrite策略时，这个原理大致是Coq在引擎盖下使用的原理。

最后，平等以有趣的方式与其他类型相互作用。你问list的等式定义是什么。我们可以证明以下引理是有效的：

forall A (x1 x2 : A) (l1 l2 : list A),
  x1 :: l1 = x2 :: l2 -> x1 = x2 /\ l1 = l2

forall A (x : A) (l : list A),
  x :: l <> nil.

用语言说：

1. 如果两个非空列表相等，则它们的头部和尾部相等;

2. 非空列表与nil不同。

更一般地说，如果T是归纳类型，我们可以证明：

1. 如果两个以相同构造函数开头的表达式相等，则它们的参数相等（即构造函数是 injective ）;以及

2. 以不同构造函数开头的两个表达式总是不同的（也就是说，不同的构造函数不相交）。

严格地说，这些事实并不是平等定义的一部分，而是归纳类型在Coq中起作用的方式的结果。不幸的是，对于Coq中的其他类型，它也不起作用;特别是，Coq中函数相等的概念并不是很有用，除非你愿意在理论中添加额外的公理。