如何求解正规幂级数中的微分方程？

Question

我想首先用微分方程隐式定义正式幂级数的几个系数。

  

示例

sp.series(sp.tan(z), n = 8)

L = z^2 + z^2 L + z^4 L'

sympy

  

问题。如何计算ODE的正式幂级数解，而不是在初等函数方面明确求解它？

     

旁注。一些微分方程（偶数线性）仅在发散幂级数中有解，例如方程{{1}}。有趣的是要知道{{1}}是否支持这些方程式以及通常的方程式。

相关。

目前的问题是一个更简单的问题的续集。

Sympy: how to solve algebraic equation in formal power series?

Answer 1

更新：已发布类似问题的答案here。我使用第二个答案而不是下面给出的答案。使用sympy标准函数的解决方案非常缓慢。

sympy-1.1.1似乎（部分）可能。请务必先更新到相应的版本。我参考关于常微分方程的官方文档部分

http://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/ode.html

我们可以使用方法dsolve以及其他提示，要求将解决方案表示为正式的幂级数。这仅适用于某些类型的方程式。对于上面的等式，我们要求提供可能的提示类型。

>>> sp.classify_ode(equation)

('separable',
'1st_exact',
'1st_power_series',
'lie_group',
'separable_Integral',
'1st_exact_Integral')

继续问题中的示例，我们指定提示'1st_power_series'和初始条件F(0) = 0：

solution = sp.dsolve(equation, hint='1st_power_series', ics={F.subs(z,0):0})
display(solution)

  

问题1。如果我们想要更多术语，甚至说n = 10，该功能可以工作很长时间（通常，我希望在几秒钟内有20个系数）。组合地，可以为线性ODE写出非常快的重复。我不知道它是否在sympy中实现。

     

问题2。这项技术似乎并不适用于原始问题L = z^2 + z^2 L + z^4 L'中提到的Ricatti方程式。

如果有人知道更好的解决方案，我们热烈欢迎他！