Python：集成指数函数和高斯函数的乘积

Question

我有一个函数y，它是y1 = exp（-x）和exp（-x ^ 2）的乘积：

  

y1 = exp（-x）

     

y2 = exp（-x ** 2）

     

y = y1 * y2 = exp（-x）* exp（-x ** 2）= exp（-x ** 2-x）

使用sympy集成函数y1或y2可以正常工作：

>>> import sympy as sy
>>> import numpy as np
>>> x = sy.Symbol('x')
>>> y1 = sy.exp(-x)
>>> sy.integrate(y1, (x, 0, np.inf))
1

和

>>> y2 = sy.exp(-x**2)
>>> sy.integrate(y2, (x, 0, np.inf))
0.5*sqrt(pi)

但是，每当我尝试整合产品y1 * y2 = y时，不接受积分：

>>> y = y1*y2
>>> sy.integrate(y, (x, 0, np.inf))
Integral(exp(-x)*exp(-x**2), (x, 0, np.inf))

也许我是盲目的，并且遗漏了一些明显的东西。

Answer 1

如果sympy无法象征性地评估它，那么它只返回一个Integral对象。您需要使用更强大的符号计算器，如maxima或Wolfram|Alpha (link to solution)），否则需要使用数值积分。以下是一些用于数字整合的选项：

import sympy as sy
import numpy as np
import scipy as sp
import scipy.integrate

x = sy.Symbol('x')
y1 = sy.exp(-x)
y2 = sy.exp(-x**2)
y = y1*y2

# Pure scipy without sympy
print(sp.integrate.quad(lambda x: np.exp(-x) * np.exp(-(x**2)), 0, np.inf))

# Mix of scipy and sympy
print(sp.integrate.quad(lambda x_arg: y.subs(x, x_arg).evalf(), 0, np.inf))

# Without using scipy
print(sy.mpmath.quad(sy.lambdify([x], y), [0, np.inf]))

Answer 2

我相信积分 被接受，它会给你一个有效的同情结果。我使用了this site并且它表示（我还不够数学家来验证它）答案中有错误函数（erf）：

没有确切的分析答案，所以它给你它的内部表示。我在几年前使用过Mathematica它会做类似的事情，但它提供了解决方案的多项式近似。顺便说一句，答案大约是0.5456413607650471。

我使用http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php生成方程式图像。