Question

我有一个真正的信号，我想要进行傅立叶变换，在频域中计算分析信号然后再变换回来。

的问题

fftw_plan fftw_plan_dft_r2c_1d(int n, double *in, fftw_complex *out,
                           unsigned flags);

是它只有正频率分量，而我需要将负频率分量归零（fftw_complex（f）= 0，f <0）。

显而易见的解决方案是零填充fftw_complex并将其转换回复杂到复杂，但是，出于性能/内存的原因，我想避免这种情况。

Answer 1

因此，目标是优化对应于实信号u（）的analytic signal的计算。正如您所写，明显的解决方案包括：

首先，由于u（）的分析信号在时域中很复杂，因此它是u（）的两倍，节省内存将很难。由于分析信号的实部已知（即u（）本身），计算分析信号严格等同于将Hilbert tranform应用于u（），因为其结果是分析信号的虚部。

要使用FFTW应用希尔伯特变换，请参考[1]中的算法：

结果，可以通过使用c2r变换而不是c2c变换来计算分析信号的虚部。然而，虚部是作为第二个数组获得的：数组必须拉链关闭以获得完全等同于第一种方法的结果。使用advanced real-data dfts和2的步幅可以帮助删除该操作。

更进一步，仍然在[1]中，可以注意到在频域中乘以-j.sign（w）对应于时域中的卷积（参见Discrete Hilbert transform）。离散卷积核h是-j.sign（w）的后向DFT。结果，它写道：

$h_i=\sum_{k=0}^{n-1}-j.sign(w_k).e^{2\pi \frac{k.i}{n} j}$

如果n是偶数，则严格低于n / 2的索引k> 0对应于正频率，索引n / 2必须被静音，因为它对应于n / 2和-n / 2频率并且索引高于n / 2对应于负频率。索引0可以被静音。结果，总和写道：

$h_i=\sum_{k=1}^{n/2-1}-j.e^{2\pi \frac{k.i}{n} j}+\sum_{k=1}^{n/2-1}j.e^{-2\pi \frac{k.i}{n} j}$

几何序列很容易求和，魔术运算：卷积核h的所有偶数项都为空！

i％2 == 0 =＆gt; h_i = 0

（在2017/09/21，关于奇数i的h_i值，wikipedia是错误的，参见Todoran et.al。[1]）

因此，即使执行与h的卷积，u（）的项也永远不会与u（）的奇项相混合。实际上，h（u）= u * h的奇数项取决于u（）的偶数项，甚至h（u）项也取决于u（）的奇项。这似乎是一个有希望的轨道，但让我们引用Todoran et。人。 [1]关于它：

此算法似乎在较短的时间内计算出来。实际上，它需要比使用离散傅立叶变换的算法更长的时间。这可以通过以下事实来解释：对于DFT，开发了快速微积分算法（FFT -Fast Fourier Transform）。

简短的结论： FFTW再次获胜......

[1] Gheorghe TODORAN，Rodica HOLONEC和Ciprian IAKAB，离散希尔伯特变换。数值算法.ACTA ELECTROTEHNICA，2008,49,4,485-490