朴素矩阵乘法改进

Question

我的CS老师要求我们对此代码“添加一些小改动”，使其以 N ³ - N ² 的时间复杂度运行而不是正常 N ³ 。我不能为我的生活搞清楚，我想知道是否有人碰巧知道。我不认为他在谈论strassens方法。 从我看它时，也许它可以利用他只关心方形（对角线）矩阵的事实。

void multiply(int n, int A[][], int B[][], int C[][]) {
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            C[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < n; k++)
            {
                C[i][j] += A[i][k]*B[k][j];
            }
        }
    }
}

Answer 1

您无法在 O（N ² ）中实现矩阵乘法。但是，您可以从 O（N ³ ）提高复杂性。在线性代数中，有一些算法，如Strasens算法，通过减少每个2x2子所需的乘法次数，将时间复杂度降低到 O（N ^2.807 ） -matrix从8到7.

Coppersmith Winograd算法是最快的已知矩阵乘法算法，具有最佳时间复杂度 O（N ^2.3729 ）。