Question

我一直在看这个问题。

目标是用砖砌成楼梯
有N块砖，所有这些砖都必须用来建造楼梯
楼梯由严格增加的不同大小的步骤组成
楼梯不允许有相同尺寸的步骤
每个楼梯至少包含两个步骤，每个步骤至少包含一个砖块

链接到完整问题http://acm.timus.ru/problem.aspx?num=1017&locale=en

我已经知道这是处理不同的分区和数论/背包问题。目标有效地给出了一个列表n = [1,2,3，.... n -1]确定存在多少N个无序集合。我说无序因为列表没有重复，所以任何组合都可以被排序为给定大小的有效特定答案以符合规则。我也理解一般的概念是你从高度1和分支/添加所有可能的组合开始，直到新的高度在砖上结束，并且如果新的高度消耗掉所有剩余的砖，则仅添加到总组合中那一点。我意识到有一些模式，比如你已经知道n = 3时存在多少分区，当进入4时，所以使用该数据（动态编程）是解决方案的一部分。

我最终遇到了以下解决方案。

n = int(input())
m = [[0 for i in range(n + 1)] for j in range(n + 1)]
m[0][0] = 1  # base case

for last in range(1, n + 1):
    for left in range(0, n + 1):
        m[last][left] = m[last - 1][left]
        if left >= last:
            m[last][left] += m[last - 1][left - last]

print(m[n][n] - 1)

所以我理解最后一个变量代表它使用了多少砖。左循环让它运行并传输缓存的数据。所以我理解m [last] [left]被分配到一个入口，因为它已经有了使用last-1 brick的所有可能楼梯的计算分区总和。

我也得到了对角线包含所有分区计数（[3,3] =砖块的不同分区= 3）我不确定的部分是在对角线检查后确定数据的方式（如果离开＆gt; =最后），算法如何知道将精确矩阵位置添加到当前索引得到正确的值？这些点的数据之间有什么关系。

下面是在10上运行后的2d数组的矩阵，答案是9

= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 | 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 | 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 | 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

3 | 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0

4 | 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1

5 | 1 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3

6 | 1 1 1 2 2 3 4 4 4 5 5

7 | 1 1 1 2 2 3 4 5 5 6 7

8 | 1 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8

9 | 1 1 1 2 2 3 4 5 6 8 9

10 | 1 1 1 2 2 3 4 5 6 8 10

Answer 1

这个问题的自下而上解决方案背后的直觉有点难以理解，但这里有：

首先，让我们将m重命名为更直观的内容：ways。现在，当我们检查问题时，我们发现这个问题中存在有限数量的状态。状态空间由last定义，您可以将其视为最后一步中的砖块数和left，这是你剩下的砖块数量。

因此，ways[last][left]表示如果楼梯的最高台阶高度为last，并且您有left砖可供使用，则可以构建楼梯的数量。

现在，让我们看看基本情况。 ways[0][0]告诉我们如果我们有一个高度为0的步骤，我们可以建造多少个楼梯，我们剩下0块砖。嗯，只有一种方法可以做到这一点：放下0块砖！因此，ways[0][0] = 1。如果你看一下ways[0][1]，就会问：如果最后一步是0高度我们还有1块砖，我们可以建造多少个楼梯？这是不可能的，因为从左到右的台阶高度必须严格增加。如您所见，ways[0][1], ways[0][2], ... , ways[0][k], k > 0将全部为零。

自下而上解决方案中最棘手的部分是复发。让我们看看嵌套for循环中的第一行。

ways[last][left] = ways[last - 1][left]

这表示我们可以使用最后一步高度last和left砖块制作的楼梯数量等于我们可以用最后一步高度{{{ 1}}剩余last-1块砖。这应该是有道理的，因为如果你有一个更高的最后一步，它会变得更少限制，left成为ways[last][left]的超集。可以这样想：我们有5块砖可以使用。我们保证能制造多少楼梯？与4块砖相同的数字。至少，您可以简单地将额外的砖块添加到右侧最高的步骤，它仍然有效。

ways[last-1][left]

当您剩下的砖块数量大于或等于您最后一层砖块的数量时会发生什么？在这种情况下，我们可以在现有步骤的左侧建立一个新楼梯。但是这个新的楼梯不能高于4 bricks 5 bricks # # # # # ## ## 13 14砖，因为再次，步骤必须严格增加。那么有多少楼梯？好吧，我们正在使用last-1砖来制作这个步骤，所以我们剩下last块砖来创建左边的楼梯。该数字位于单元格left-last中。幸运的是，我们之前已经计算过这个值，所以它只是一个简单的查找。

示例可能对实际数字有帮助，因此我将对ways[last-1][left-last]进行计算。

n=2

这是填写# initial state with the base case [1, 0, 0] [0, 0, 0] [0, 0, 0] # ways[1][0] = ways[0][0] at least b/c the spare brick can go on highest step [1, 0, 0] [1, 0, 0] [0, 0, 0] # ways[1][1] = ways[0][1] by the same logic # ways[1][1] += ways[0][0] because we use up 1 brick making the step, # and we have 0 bricks left, and we need the max height to be 0 [1, 0, 0] [1, 1, 0] [0, 0, 0] # ways[1][2] = ways[0][2] by the same logic # ways[1][2] += ways[0][1] because we use up 1 brick making the step, # and we have 1 bricks left, and we need the max height to be 0 (impossible!) [1, 0, 0] [1, 1, 0] [0, 0, 0] # ways[2][0] = ways[1][0] by the same logic [1, 0, 0] [1, 1, 0] [1, 0, 0] # ways[2][1] = ways[1][1] by the same logic # ways[2][1] += ways[1][0] because we use up 1 brick making the step, # and we have 0 bricks left, and we need the max height to be 0 [1, 0, 0] [1, 1, 0] [1, 1, 0] # ways[2][2] = ways[1][2] by the same logic # ways[2][2] += ways[1][0] because we use up 2 bricks making the step, # and we have 0 bricks left, and we need the max height to be 1. # That's perfect, because we can make a step of max height 1 with 0 steps [1, 0, 0] [1, 1, 0] [1, 1, 1]表的逻辑。这是代码的最后一行：

ways

我们需要减去1的原因部分是由于我们的基本情况。我们假设有一种方法可以制作一个0砖和0高的楼梯。然而，这并不构成一个“楼梯”。根据规则，因为楼梯必须有两个或更多的台阶。因此，每个对角线条目都包括一个额外的＆＃34;无效＆＃34;楼梯：n块砖堆叠在一起。

print(ways[n][n] - 1)

我们需要这个，因为在未来的楼梯中，我们可以使用堆叠在彼此之上的4 bricks # # # # # ## # 13 4砖，就像我们有9块砖一样。

只是当你只有9 bricks # # # ## ## ## ## ## ### ## 135 45砖时，你需要减去那个无效的情况。

我希望这有帮助 - 祝你好运！

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