在Python中计算低秩近似

Question

给定尺寸为n×n的矩阵M，我如何计算低秩分解，使得M = L.T * L，其中L的维数为kxn。到目前为止，我只看到过使用SVD完成的操作，这并不是我想要的，因为该方法给出了M = U S V，以及UT！= S * V，而不是（LT）.T == L。

另一个替代方案可能是使用某种形式的优化来找到L，但是它并不简单，因为我已经尝试过几种来自SciPy的优化方法，其中M - LT * L与frobenius范数不同到目前为止，我还没有成功。

编辑：我忘了通过使用scikit的非负矩阵分解类I来补充这一点，我可以通过将L和LT作为候选矩阵进行部分实现优化。但是，我的矩阵M不是非负的，因此这种方法对我不起作用。

Answer 1

答案取决于您对矩阵的了解。

如果矩阵是半正的，你可以使用Cholesky Factorization，  使用旋转来稳定。

根据其他假设，可能不存在解决方案。

可能不存在解决方案的示例，以下矩阵没有解决方案：

[[0, 1],
 [0, 0]] 

证明：假设答案存在。然后解决方案看起来像：

L = [[a, b],
     [c, d]]

所以以下必须为True：

1. a*a + b*c == 0
2. d*d + b*c == 0
3. c * (a+d) == 0
4. b * (a+d) == 1

根据3. (c == 0) or ((a+d) == 0)

如果c == 0，则根据1.和2. a == 0和d == 0。如果这是真的，则(a+d) == 0使得4.不可能。

如果(a+d) == 0那么4.是不可能的。

通过矛盾我们知道你不能用这个矩阵要求分解。