根据某些外部值生成分布

Question

假设我有四种货币，我想随意选择一种货币：

Bronze, Silver, Gold, Platinum

基于某些＆＃34;评级＆＃34;价值，我想为每种货币分配一个概率，以便选择它。让我们说这个评级值是0.0 - 5.0

如果我的等级更高，我现在想要将分布向铂金方面加权，如果我的评级较低，我会向青铜方面加权。

所以5.0的评级可能如下：

Bronze: 0.0, Silver: 0.10, Gold: 0.30, Platinum: 0.60

同样，0.0的评级可能如下：

Bronze: 0.60, Silver: 0.30, Gold: 0.10, Platinum: 0.0

评级为2.5可能看起来更均匀地分散在中间货币中。

我无法想到一个算法来处理这个问题。如何根据控制分布的某个值生成100％的分布？有谁知道我可以在哪里开始？

Answer 1

一个简单的答案是将4条直线放在您拥有的数据上并称之为一天。

更灵活的方法是以您喜欢的任何方式定义4个非负相对权重函数，例如bronze(r)，silver(r)，gold(r)，platinum(r)。然后定义total(r) = bronze(r) + silver(r) + gold(r)+ platinum(r)。现在青铜的概率是bronze(r)/total(r)。

这种方法的优势在于您可以使用以下功能：bronze(r) = 4 * 0.3^r，silver(r) = 2 * 0.7^r，gold(r) = 1，platinum(r) = 0.1 * 1.8^r。现在r=0青铜最有可能。在r=1最有可能是白银。 r=2金最有可能。而r=5最有可能是铂金。

你应该尝试各种各样的功能，并解决游戏中最具可玩性的结果。

Answer 2

这是一些想法/草图，我可能应该受到统计学家的惩罚（至少对于执行而言）。我假设这不是一个大规模的拟合问题，可能需要其他方法。

一般的想法是：使用dirichlet-distribution生成最终分发。 dirichlet分布本身也有参数（参见wiki），我们在这里使用正态分布，因为它是对称的，只需要2个参数（我们可以修正方差，因此我们只需要在任务中定义的一个变量;方差仍然是一个设计参数来控制这个标量 - ＆gt; dist函数的映射;实际上这也可以在一些1d优化问题中用作优化变量，这不是微不足道的，因为可能是非凸的，我们得到非快速-evaluated function）作为内部分布，用于定义我们的dirichlet分布。

这是一些示例代码（python），它可能是一个理论上的噩梦，在numpy / scipy用法方面也不是很好，但是嘿，这只是一个例子：

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def get_sample(param):
    # location = mean shifted because of the task (symmetry not at zero!)
    outer_normal = np.array([norm.pdf(x, scale=1, loc=param-2.5) for x in np.linspace(-1, 1, 4)])
    # shifting (we need positive reals as dirichlet-input) maybe critical in terms of theory
    shifted_outer_normal = outer_normal + np.amin(outer_normal)
    return np.random.dirichlet(shifted_outer_normal)

# Try 3 values (borders + mean) and sample 1000 times each; calculate means
print(np.mean([get_sample(0) for i in range(1000)], axis=0))    # input: 0
print(np.mean([get_sample(2.5) for i in range(1000)], axis=0))  # input: 2.5
print(np.mean([get_sample(5) for i in range(1000)], axis=0))    # input: 5

输出：

[ 0.73142688  0.21514722  0.04402889  0.00939702]  # remark: only approximating sum=1 as independent means
[ 0.21711426  0.27841426  0.28205054  0.22242094]
[ 0.00943747  0.04039373  0.22860444  0.72156436]

Answer 3

如果在x轴位置{0、1、2、3]}上设置了{青铜，银，金，白金}}，我们可以想象权重采用三角形形式，可以作为光标在0和3之间移动当速率从0变为5时。

三角形由3个点定义：左，中（峰），右 center = rate * 3 / 5

这样做，比率为0时居中= 0，比率= 5时居中3 left = center - 2.5 和 right = center + 2.5

仅通过编写即可在OpenTURNS中定义这种分布 dist = ot.Triangular(left, center, right) 然后，必须对其进行改造以满足您的需求。实际上，由于结果必须是{0，1，2，3}中的整数值，因此我们必须在-0.5左和3.5右之间截断此分布，然后将其舍入到最接近的整数，例如[-0.5，0.5 [=> 0，[0.5、1.5 [=> 1，[1.5、2.5 [=> 2，[2.5、3.5] => 3

以下是构建参数分布的代码：

import openturns as ot

def distribution (r):
    # Define ot.Triangular()
    center = r * 3 / 5 
    left = center - 3
    right = center + 3
    dist = ot.Triangular(left, center, right)
 
    # Truncate ot.Triangular()
    trunc = ot.TruncatedDistribution(dist, -0.5, 3.5)
    
    # Transforme the distribution to round its realizations 
    f = ot.PythonFunction(1, 1, lambda x: [round(x[0])])
    round_distribution = ot.CompositeDistribution(f, trunc)

    return round_distribution

尝试：

# draw a sample of size 5 when rate = 0
rate = 0
print(distribution (rate).getSample(5)
>>>    [ X0 ]
0 : [ 1  ]
1 : [ 0  ]
2 : [ 1  ]
3 : [ 0  ]
4 : [ 0  ]

更容易绘制青铜（0）和银（1）。

当rate = 5时的相同操作将给出：

 [ X0 ]
0 : [ 3  ]
1 : [ 2  ]
2 : [ 3  ]
3 : [ 3  ]
4 : [ 1  ]

在这种情况下，获得“铜牌”的可能性为0。