用“lsqcurvefit”拟合高斯时的初始点的局部最小值

Question

我正在编写MATLAB代码，目的是做一些配件。我使用二阶高斯模拟了一个图（参见下面的代码）并尝试使用lsqcurvefit函数进行拟合。不幸的是，MATLAB返回的猜测值与“优化”相同。参数和显然卡在局部最小值。

有人可以就这里可能出现的问题提供一些建议吗？我知道，如果猜测远离“真实”的话。那么这可能会发生，但我希望MATLAB能够返回一个更接近真值的答案。将初始猜测提高到[29,0]（更接近实际值）会产生相同的输出：初始值是局部最小值。

%%%%%%%%%%

function z= testfunction(x, xdata);

sigma=x(1)/(2*sqrt(2*log(2)));

z=((xdata.^2-2*x(2)*xdata-sigma.^2+x(2)^2)./(sigma^5*sqrt(2*pi))).*exp(-(xdata-x(2)).^2/(2.*sigma.^2));

end
%%%%%%%%


% Simulate Data

xdata= -50:1:50;

ydata = testfunction([30,0],xdata);

% Fit Data 

xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata );

xfit(1)
xfit(2)

yfit=testfunction([xfit(1),xfit(2)],xdata);

% Plot Data;
plot(xdata,yfit);
hold on;
plot(xdata,ydata,'o')

输出：

Initial point is a local minimum.

Optimization completed because the size of the gradient at the initial point 
is less than the default value of the optimality tolerance.

<stopping criteria details>


ans =

    19


ans =

    -4

Answer 1

简答：检查停止条件详情并相应更改停止条件：

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16, 'FunctionTolerance', 1e-16);
xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata, [], [], options);

有什么问题？

lsqcurvefit是一个数值求解器，因此使用停止标准来确定是否已充分达到局部最小值。一般来说，您永远无法达到确切的解决方案。因此，您的问题的解决方案是更改停止条件以请求更准确的解决方案。

如何解决？

点击停止条件详情，您会收到以下说明：

  

优化完成：最后一点是初始点。该   一阶最优度度量7.254593e-07小于   options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06。

Optimization Metric                                       Options 
relative first-order optimality =   7.25e-07  OptimalityTolerance =   1e-06 (default)

所以，你应该减少OptimalityTolerance（f.e。到1e-16）：

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16);
xfit = lsqcurvefit(@testfunction,[19,-4],xdata, ydata, [], [], options);

上面的图像显示了新结果，这比前一个更好，但还不是很好。通过再次检查停止标准，您将看到您还需要更改FunctionTolerance：

options = optimoptions('lsqcurvefit','OptimalityTolerance', 1e-16, 'FunctionTolerance', 1e-16);

为什么默认选项不好？

请注意，您需要调整停止条件，因为您的函数返回相对较小的值。将z乘以因子1000，而不使用任何选项规范也会产生合适的效果：