Question

我试图确定矩阵是否为负半定义。因此，我检查所有特征值是否小于或等于零。一个示例矩阵是：

              [,1]          [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -1.181830e-05  0.0001576663 -2.602332e-07  1.472770e-05
[2,]  1.576663e-04 -0.0116220027  3.249607e-04 -2.348050e-04
[3,] -2.602332e-07  0.0003249607 -2.616447e-05  3.492998e-05
[4,]  1.472770e-05 -0.0002348050  3.492998e-05 -9.103073e-05

由stata计算的特征值是1.045e-12，-0.00001559，-0.00009737，-0.01163805。然而，由R计算的特征值是-1.207746e-20，-1.558760e-05，-9.737074e-05，-1.163806e-02。所以最后三个特征值非常相似，但第一个非常接近零的特征值不是。利用stata获得的特征值，矩阵不是半定义的，但是利用R获得的特征值是半定义的。有没有办法可以找出哪种计算更准确？或者甚至可以重新缩放矩阵以避免无限小的特征值？

非常感谢您提前。每一个提示都将受到高度赞赏。

Answer 1

使用双精度浮点数的数值算法无法预期如此精确。

您可以预期不超过17个十进制数字，并且零附近的相对精度损失并不罕见。也就是说，给定数值误差，1e-12和-1e-20都与0无法区分。

例如，对于最小的特征值（使用您在评论中给出的系数），我得到：

R 3.4.1：5.929231e-21，
MATLAB R2017a：3.412972022812169e-19
Stata 15：3.2998e-20（matrix eigenvalues）或4.464e-19（matrix symeigen）
英特尔Fortran与MKL（DSYEV功能）：2.2608e-19

你可以选择一个阈值，比如1e-10，当它与最大特征值的比率小于1e-10时，强制特征值为零。

无论如何，你的1e-12看起来有点大。在Stata和R之间传输数据时，您可能已经失去了一些精度：矩阵中的小相对误差可能导致特征值的大相对误差为零。对于Stata和你问题中的数据（不在评论中），我得到了最小特征值的3.696e-12。

然而，即使使用相同的矩阵，由于以下方面的变化，仍可能存在差异（上文中有）：

解析器，如果您输入数字作为文本
用于特征值计算的算法
相同算法的实现细节（例如，浮点运算符不是关联的）
用于编译计算例程或编译器选项的编译器
浮点硬件

传统建议阅读这类问题：

What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

矩阵计算的精度R与Stata

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