可空性（正则表达式）

Question

在Brzozowski的“正则表达式的导数”和其他地方，如果R可以为空，函数δ（R）返回λ，否则，包括如下条款：

δ(R1 + R2) = δ(R1) + δ(R2)
δ(R1 · R2) = δ(R1) ∧ δ(R2)

显然，如果 R1 和 R2 都可以为空，那么（ R1·R2 ）可以为空，如果 R1 < / em>或 R2 可以为空，然后（ R1 + R2 ）可以为空。然而，我不清楚上述条款应该是什么意思。我的第一个想法，映射（+），（·）或布尔运算到常规集是没有意义的，因为在基本情况下，

δ(a) = ∅ (for all a ∈ Σ)
δ(λ) = λ
δ(∅) = ∅

和λ不是集合（也不是设置δ的返回类型，这是正则表达式）。此外，没有指出这种映射，并且有一个单独的表示法。我理解可空性，但我对δ定义中的和，乘积和布尔运算的定义感到迷失：λ或how如何从δ（ R1 ）∧δ（ R2 ），例如，在关闭δ的定义中（ R1·R2 ）？

Answer 1

我认为您分别将+和^映射到布尔or和and是正确的。看起来你引用的两行涉及交替（总和）和连接（产品）：

δ(R1 + R2) = δ(R1) + δ(R2)

如果R1可以为空，R2可以为空，或R1为R2，则R1和R2的更改可以为空并且δ(R1 · R2) = δ(R1) ∧ δ(R2) 可以为空。

R1

R2和R1的连接只有在R2和{{1}}都可以为空的情况下才可以为空。

有关这些规则的Haskell实现，请参阅here。

Answer 2

（我不能深入研究Brzozowski的文章，以便更好地理解那里的含义），但我可以提出两种方法来解释这种符号（除了用符号表示，我看，没有问题） ：这个定义的意图很好理解）：

1）在定义的左边，我们只有正则表达式的“语法”模式。在右边，我们制作套装;记住，正则表达式是表示语言（集合）的一种方式，因此这种写下定义的方式变得可以理解：在右边，我们只是使用一些（简单）正则表达式作为引用的简短方法集。即，∅表示空语言（空集），λ（如果解释作为正则表达式）表示仅包含空字（具有此元素的集合）的语言。

操作只是对集合的操作：可能是union和交集。

如果符号以这种方式解释，则使用的符号与基本案例相抵触并不矛盾：同样，“a”是一个正则表达式，表示带有单词“a”的语言。

2）我们首先在右侧构建常规表达式，但作者已经扩展了使用楔形构建正则表达式的操作，该楔形具有语言交集的语义。

Answer 3

我认为你被作者所采取的符号自由所困扰。 δ（R）的返回类型肯定是一组，或者更确切地说是一种语言。如果你看一下定义：

你可以看到返回类型存在不一致，正式λ是一个元素，但是∅是空语言......应该说的是：

作者对空字符串以及仅包含空字符串的语言使用λ这一事实进一步证明了他对Kleene星运算符的定义：

显然，如果我们想要迂腐，最后一部分应该是。

鉴于δ（R）的返回类型是一个集合，或者更确切地说是一种语言，你给出的方程式非常有意义，并且完全表达了你所描述的内容。