这种递归算法的复杂性是什么？

Question

以下算法是否具有O（nlogn）的复杂度？

令我困惑的是这个算法分为两次，而不是一次作为常规的O（nlogn）算法，每次都做O（n）工作。

def equivalent(a, b):

    if isEqual(a, b):
        return True

    half = int(len(a) / 2)
    if 2*half != len(a):
        return False

    if (equivalent(a[:half], b[:half]) and equivalent(a[half:], b[half:])):
        return True

    if (equivalent(a[:half], b[half:]) and equivalent(a[half:], b[:half])):
        return True

    return False

Answer 1

对equivalent的4次递归调用中的每次调用都会将输入数据量减少2倍。因此，假设a和b具有相同的长度，isEqual 1}}具有线性时间复杂度，我们可以为整体复杂性构建递归关系：

C有些不变。我们可以通过反复替换和发现模式来解决这种关系：

求和的上限是m？ len(a) 奇数时会发生停止条件。这可能是N和1之间的任何位置，具体取决于N的 prime分解。在更糟糕的情况下，N是2的幂，因此函数会递归到len(a) = 1，即

Answer 2

为了增强上述答案，可以使用“主方法”直接计算。主方法仅适用于以下类型的重复。

T(n) = aT(n/b) + f(n) where a >= 1 and b > 1

我们根据f（n）有三种情况，如下所示：

1. 如果f（n）=Θ（n ^c ），其中c b a然后T（n）=Θ（n ^{Log _b a} ）

2. 如果f（n）=Θ（n ^c ），其中c = Log _b a，那么T（n）=Θ（n ^c 记录n）

3. 如果f（n）=Θ（n ^c ），其中c>记录 _b a然后T（n）=Θ（f（n））=Θ（n ^c ）

在你的情况下，

我们有a = 4，b = 2，c = 1且c <1。记录 _b a

即。 1＆lt; log ₂ 4

因此=＆gt;案例1

因此： T（n）=Θ（n ^{Log _b a} ）

T（n）=Θ（n ^{Log ₂ 4} ）

T（n）=Θ（n ² ）

有关示例的更多详细信息，请参阅wiki。

希望它有所帮助！