Question

给定一些对称整数矩阵列表，我想删除以下等价关系下的所有重复：

如果M1上有一些排列M2，则所有s和{1,...,k}都有两个kxk矩阵i，j是等效的在{1,...,k}我们有M1_ij = M2_s(i)s(j)，即两个矩阵是＆＃34;相等＆＃34;如果我可以通过同时排列其行和列来从另一个中获取一个。

不幸的是，我的天真方法（在构建列表时，检查新矩阵的任何排列是否已经在列表中）证明太慢了。

我可以想到的一些可能更快的替代方案是将所有矩阵放在列表中，将它们置换为某些＆＃34;规范排列＆＃34;然后删除所述的重复项，例如， here。但是，我不确定如何实现这样的规范排列＆＃34;在代码中。

要进一步缩小此范围：矩阵相对较小（k <= 4），列表将包含大约5或6位数的矩阵，并且矩阵的dtype必须是某个整数类型（目前为intc，但我可以更改）。

最终列表的顺序无关紧要，每个等价类的哪个代表也不存在。如果需要，整个过程可能需要一些小时，但不是几天。

是否有一些合理有效的方法来实现这一目标？我（又一次）是否错过了一些很酷的NumPy或SciPy设施，可以帮助我解决这个问题？

根据要求，一些小例子来说明等价关系如何运作：

矩阵{{1,1,1},{1,2,0},{1,0,3}}和{{1,1,1},{1,3,0},{1,0,2}}是等效的，因为排列{1,2,3}->{1,3,2}会将一个转换为另一个。

矩阵{{1,1,1},{1,2,0},{1,0,3}}和{{1,1,0},{1,2,1},{0,1,3}}不等价，你不能在没有置换对角线的情况下改变1的位置。

Answer 1

这是一个代数答案。我怀疑应该有一个更令人满意的组合答案。

如果存在permutation matrix P使得M'= P ^ { - 1} M P，则说两个矩阵M和M'是等价的。

让我们使用M和M'的特征分解：

M = Q ^ { - 1} D Q

M = Q'^ { - 1} D'Q'

其中D和D'是包含特征值的对角矩阵，Q和Q'是正交矩阵。

我们可以将相等重写为：

D = D'直到排列（即两个矩阵应具有相同的特征值）

Q'= PQ

第二个条件的测试很容易。鉴于Q是正交的，它等于检查矩阵点（Q，Q'.T）是否是置换矩阵，即它是否每行和每列只有一个“1”。

因此算法的草稿是：

拿M和M'
计算M和M'的特征分解（Q，D）和（Q'，D'）（使用np.linalg.eigh）
如果它们没有相同的特征值（当然达到数值精度），它们就不相同了
否则，计算np.dot(Q, Q'.T)并测试它是否为置换矩阵

我认为瓶颈是特征分解，但每个矩阵只需要做一次。希望第一次测试能够快速丢弃很多矩阵。

希望这有帮助。

Answer 2

您可以将矩阵视为表示图形的邻接/权重矩阵，然后测试两个图形是否彼此同构。 networkx具有方便的功能（可以通过pip安装）。

import numpy as np
import networkx as nx
from networkx.algorithms.isomorphism import numerical_edge_match

# create matrices
n = 4
a = np.random.randint(0, 10, size=(n,n))
a = a + a.T # i.e. symmetric
b = np.rot90(a, k=2) # i.e. a rotated by 180 degrees
c = np.ones((n,n), dtype=np.int) # counter-example

# create graphs
ga = nx.from_numpy_matrix(a)
gb = nx.from_numpy_matrix(b)
gc = nx.from_numpy_matrix(c)

# test if isomorphic
print "a isomorphic with b:", nx.is_isomorphic(ga, gb, edge_match=numerical_edge_match('weight', 1)) # True
print "a isomorphic with c:", nx.is_isomorphic(ga, gc, edge_match=numerical_edge_match('weight', 1)) # False

Answer 3

只需使用您的规范方法即可。搜索矩阵中的最大条目，将其放在右上角。然后根据它的条目对第一列和第一行进行排序。

A = np.array([[1,2,3,5],
     [3,6,2,6],
     [3,5,7,2],
     [1,3,6,3]])
a = np.where(A == np.amax(A))
sort_colums = np.argsort(A[a[0]].ravel())[::-1]
sort_rows = np.argsort(A[:,a[1]].ravel())[::-1]
Col_sorted = A[:,sort_colums]
Equiv_class = Col_sorted[sort_rows]
#returns [[7, 5, 3, 2],
          [6, 3, 1, 3],
          [3, 2, 1, 5],
          [2, 6, 3, 6]]

正如评论中所指出的，这只有在矩阵的条目只出现一次时才有效。如果确实发生了多次，但不是经常发生，那么可以通过生成几个等价类来适应这种方法。

如何根据某种等价关系从矩阵列表中删除重复项？

3 个答案: