来自两个不同集的子集的位掩码

Question

我有两套 -

set1 - {i1，i2，i3 ... iN1}

set2 - {k1，k2，k3 ... kN2}

对于n个项目的任何一组，我可以使用位掩码0-2 ^ n -1表示所有可能的子集。 同样，我怎么能代表 -

set1和set2的所有可能子集，其中至少有1个项目来自不同的集合。

例如，

{i1，i2，k1}有效

但{i1，i2} - 无效，因为它没有来自set2的项目。

我正在尝试生成两件事 -

1. 一种方程式，它可以给我一个所有子集的计数，就像我们有一个n项子集的2 ^ n个子集。

2. 比特编码/掩码用于表示上述类型的子集。

Answer 1

如果我们引入一些额外的兴趣，这将更容易。让我们调用两个输入集S1和S2;我们定义集L，C和R（左，中，右）。将这些视为维恩图。因此，定义L = S1 \ S2，S1中的元素根本不在S2中; C =S1∩S2，S1和S2中的元素，R = S2 \ S1。我们还分别为这些集的大小写l，c和r。

现在我们准备好回答问题1：S1∪S2的子集有多少来自S1并且有一个来自S2的元素？有两种情况需要考虑：要么我们有一个带有C元素的子集（它满足＆＃34;来自S1和＃34的元素;＆＃34;来自S2＆＃34;元素的元素），或者我们在C中没有元素，L和R中至少有一个元素。在第一种情况下，有（2 ^ c - 1）个非空C子集，其余为2 ^（l + r）个子集，所以在那种情况下有（2 ^ c - 1）* 2 ^（l + r）组。在第二种情况下，有2 ^ l - 1个非空子集L和2 ^ r - 1个非空子集R，所以有（2 ^ l - 1）*（2 ^ r - 1）个子集在这种情况下。加上这两种情况，我们总共有满足条件的2 ^（c + l + r） - 2 ^ l - 2 ^ r个子集。

如果您有非空子集的奇特表示，这也会立即建议用于存储这些子集的数据结构：您所处的情况的单个位标记，以及子集和非空的适当表示每种情况下的子集。

但我可能只使用一个大小为c + l + r的位掩码，即使有一些＆＃34;无效＆＃34; bitmasks：它非常紧凑，检查有效性很容易，并且在位掩码上有许多便宜的操作。