当使用基于树的深度优先搜索时，O（| V |）和O（Theta（| V |））之间有什么区别？

Question

很容易看出深度优先搜索的时间复杂度为O(|V|)

但是，最近，我读了一本书说：

  

如果在树上执行此过程，那么从O(|E|)

开始，系统地会在|E| = Theta(|V|)时间内系统地访问所有树顶点

我无法理解O(Theta(|V|))。

O(|V|)和O(Theta(|V|))之间的区别是什么？

Answer 1

答案简短：

• O(|E|)表示它在时间上与边缘量成线性关系。
• |E| = Theta(|V|)表示|E| in Theta(|V|)，因为O(.)，Theta(.)，...是集合。计算机科学家很懒，有时写=而不是in。知道这意味着边缘量与节点数成线性关系。
• O(|V|)表示它与节点数量成线性关系。
• O(Theta(|V|))是一个毫无意义的陈述。 O(.)需要一个函数，而不是一个集合，而Theta(.)是一个集合。

• f in O(g)给你一个上限，比如“ f优于g（或同样好）”。
  • 例如n in O(n^2)。
• f in Omega(g)给你一个下限，比如“ f并不比g（或同样好）”。
  • 例如n^2 in Omega(n)。
• f in Theta(g)表示两者都有，“ f与g 有些相同”。
  • 例如2n + 4 in Theta(n)，因为2n + 4 in O(n)和2n + 4 in Omega(n)。
• 还有small o和small omega通过严格的比较{{1}来交换<=的{​​{1}}和Big-O >= }和Big-Omega，所以“或同样好的”会被删除。

我把所有内容都放在引号中，因为它完全取决于Big-O-Notation的含义，所以“相同的”就渐近增长而言。

确切的定义可以在Wikipedia找到。

我们现在接近您的具体方案。在树中，边的数量总是由顶点的数量限定。因为一个节点最多可以有一个边到父节点，一个节点到每个子节点。例如，它不能有同一个孩子的多个边缘。

顺便说一下，树中确切的边数始终是<。因为每个节点（来自父节点）只有一条边，不包括根。

所以我们有>，因为在Big-O-Notation（渐近增长）方面，它们是“相同的”。因此，|E| = |V| - 1中运行的每个树算法都可以看作是在|E| in Theta(|V|)中运行。

实际上，许多算法都在O(|E|)中运行，而不仅仅在O(|V|)中运行，但大多数时候只有Theta(.)很有意思，所以他们只剩下剩余的算法了。在分析问题时，O(.)或O(.)更常见。例如，可以证明任何可能的基于比较的排序算法都不能快于Omega(.)（search query to find the proof）。

Answer 2

你是说theta（V）吗？如果那样，那很容易。 在此之前，你需要知道Big-O的定义，这意味着 渐近紧的上界。

如果f（n）= O（g（n）），则存在const c和n 0，如果n> = n 0,0 <= f（n）<= c * g（n）

例如，如果时间复杂度为3n，那么它属于级别 上）。此外，如果复杂度为3，则它仍然属于O（n）。

Theta（n）表示时间复杂度大于n，但低于O（n）， 在这种情况下，我们称之为theta（n）