以下python函数的时间复杂度是多少？

Question

def func(n):
    if n == 1:
        return 1
    return func(n-1) + n*(n-1)

print func(5)

感到困惑。不知道究竟是什么。是O(n)吗？

Answer 1

计算n*(n-1)是固定时间操作。函数的有趣部分是调用func(n-1)，直到n为1。该函数将进行n这样的调用，因此它的复杂性为O(n)。

Answer 2

如果我们假设算术运算是常数时间运算（并且它们确实是数字相对较小时），那么时间复杂度为O(n)：

T(n) = T(n-1) + C = T(n-2) + C + C = ... = n * C = O(n)

但实践中的乘法复杂性取决于底层类型（我们讨论的是类型取决于值的Python）。这取决于N为N接近无穷大。因此，严格来说，复杂性等于：

T(n) = O(n * multComplexity(n))

此multComplexity(n)取决于用于大数字乘法的特定算法。

Answer 3

如其他答案中所述，出于实际目的，答案接近O(n)。为了更精确的分析，如果你不想做乘法是恒定时间的近似值：

计算n*(n-1)需要O(log n * log n)（或O(log n)^1.58，具体取决于Python使用的算法，具体取决于整数的大小。请参阅here - 请注意，我们需要使用log，因为复杂性与位数有关。

添加这两个词需要O(log n)，所以我们可以忽略它。

乘法完成O(n)次，因此总计为O(n * log n * log n)。 （有可能让这个更严格，但它肯定比O(n)更大 - 见WolframAlpha plot）。

在实践中，除非log变得非常大，否则n条款确实无关紧要。