Question

我对这两个代码感到困惑。

代码1

int f(int n){
    if (n <= 1){
         return 1;
    }
    return f(n-1) + f(n-1);
}

代码2 （平衡二叉搜索树）

int sum(Node node){
    if(node == null){
        return 0;
    }
    return sum(node.left) + node.value + sum(node.right);
}

作者说代码1的运行时为O（2 ^ n），空间复杂度为O（n）

代码2是O（N）

我不知道这两个代码之间有什么不同。看起来两者都是相同的二叉树

Answer 1

首先，了解两种情况下的N是很重要的。在第一个例子中，它很明显，因为你直接在代码中看到它。对于第一种情况，如果您构建f(i)次调用树，则会看到它包含O(2^N)个元素。的确，

            f(N)             // 1 node
        /          \ 
   f(N-1)         f(N-1)     // 2 nodes
  /      \      /      \
f(N-2) f(N-2)  f(N-2) f(N-2) // 2^2 nodes
...
f(1) ........ f(1)           // 2^(N-1) nodes

在第二种情况下，N（很可能）是树中的许多元素。正如您可能从代码中看到的那样，我们只遍历每个元素一次 - 您可能会意识到，每个树节点都会调用node.value一次。因此O（N）。

请注意，在此类任务中， N 通常表示输入的大小，而输入取决于您的问题。它可以只是一个数字（比如你的第一个问题），一维数组，二叉树（比如你的第二个问题），甚至是一个矩阵（尽管在后一种情况下你可能会看到像＆这样的显式语句＃34;大小为M * N＆＃34;的矩阵。

所以你的困惑可能来自N＆＃34;的定义。这两个问题有所不同。换句话说，我可能会说n2 = 2^n1。

Answer 2

那是错误的，因为第一个片段在O（2 ^ n）中运行而不是O（n ^ 2）。

解释是：在每个步骤中，我们递减n但是创建两次调用次数，因此对于n，我们用f（n-1）调用两次，并且对于n-1的每一次调用，我们将调用n = 1。用f（n-2）呼叫两次 - 这是4次呼叫，如果我们再次降低级别，我们用f（n-3）呼叫8次：所以呼叫次数为： 2 ^ 1，然后是2 ^ 2，然后是2 ^ 3,2 ^ 4，...，2 ^ n。

第二个片段在二叉树上进行一次传递，并且恰好到达每个节点一次，所以它是O（n）。

Answer 3

第一个代码确实是O(2^n)。

但第二个代码不能是O(n)，因为那里没有n。这是许多人忘记的事情，通常他们假设 n是什么而不澄清它。

事实上，您可以根据任何事情估算任何事物的增长速度。有时它的输入大小（在第一个代码中是O(1)或O(log n)取决于大数字的用法），有时只是在参数上，如果它是数字的。

因此，当我们开始考虑第二个代码中的时间和内存依赖时，我们可以得到这些东西：

time=O(number_of_nodes_in_tree)
time=O(2^height_of_tree)
additional_space=O(height_of_tree)
additional_space=O(log(number_of_nodes))（如果树是平衡的）

所有这些都是同时正确的 - 它们只是将某些东西与不同的东西联系起来。

Answer 4

代码1：

if()语句根据传入参数的内容运行n次，但函数调用自身n-1次。简化：

n * (n-1) = n^2 - n = O(n^2 - n) = O(n^2)

代码2：

搜索只遍历树的每个元素一次，函数本身没有任何for()。由于有n个项目，并且只访问过一次，因此它是O(n)。

Answer 5

对于代码2，要确定函数的大O，我们是否必须考虑重复的成本以及重复运行的次数？

如果我们使用两种方法来估计使用递归树和主定理的Big O：

递归树：每个级别的总成本对于每个级别将是cn，因为递归调用的数量和输入的分数是相等的，并且树的级别是lg（n），因为它是平衡的二叉搜索树。那么运行时间应该是nlg（n）？

主定理：这应该是情况2，因为f（n）= n ^ logbase a（b）。那么根据主定理，它应该是nlg（n）运行时间？

Answer 6

您对这两种情况的“ N”感到困惑。在第一种情况下，N表示给定的输入。因此，例如，如果N = 4，则调用的函数数为2 ^ 4 = 16。您可以绘制递归图进行说明。因此，O（2 ^ N）。

在第二种情况下，N表示二叉树中的节点数。因此，此N与输入无关，但与二叉树中已经存在的节点数无关。因此，当用户调用该函数时，它会访问每个节点一次。因此，O（N）。

理解大O符号 - 破解编码访谈示例9

6 个答案: