带斜率的MATLAB曲线拟合

Question

背景

我目前正在为MATLAB课程中的工程设计讲座，偶然发现了一个我想向课堂提出的问题。我已经做了很多不同尝试来解决这个问题，但我的图表不断出现错误。我将描述下面的问题以及我尝试解决此问题的所有步骤。

问题

求出四次多项式的系数

P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

其图表遍历点(0, 1)，(1, 1)，(-1,3)和 其x = -1的斜率为20且x = 1的斜率为9。

直观地检查你的答案。

尝试

我首先创建了一个上面提到的x值的矩阵，如下所示：

A = [0^4 0^3 0^2 0 1; 1^4 1^3 1^2 1 1; (-1)^4 (-1)^3 (-1)^2 -1 1];
A = [0 0 0 0 1; 1 1 1 1 1; 1 -1 1 -1 1];

这将创建一个5列×3行矩阵，我可以使用它来绘制多项式。

我的问题是我无法得到最后一行x值，因为每一行都是方程组中的一个方程式，并且必须有与未知数一样多的方程式（4：a， b，c和d是未知的，但是e总是等于1，你可以看到。）

暂时忽略这个问题，我可以继续创建一个y值的垂直矩阵，这样我就可以解决方程组。这些y值已经给出了，所以我要做的就是输入以下代码：

y = [1 1 3]';

再次，应该有第四个y值与方程组一起使用，但我无法仅使用x = -1和x = 1处的点的斜率来推导它

一旦导出了x值和y值，我们就可以继续使用backslash operator (/)求解线性方程组A * x = y。

p = A\y;

mldivide是mldivide函数的更多信息，适用于需要参考的任何人。

从现在开始，下面的代码从这个方程组中创建一个多项式并绘制它，应该保持不变。

u = -1:.01:1;
v = polyval(p, u);
plot(u,v);

在此代码中，u是从-1到1的x值的域，其间隔为0.01。我们需要使用polyval函数，该函数根据我们在区间p u处导出的方程组创建多项式。

最后，plot只是在u区间使用MATLAB的GUI绘制我们的派生多项式。

正如你所看到的，我唯一缺少的部分是我的矩阵A中的另一行x值和矩阵y中的一个y值我需要找到四个未知数a，b，c和d。我相信你必须使用问题中给出的两个斜率来找到每个点。我尝试使用polyder函数来实现矩阵p的导数，

q = polyder(p);

但我仍然对如何从那里继续感到困惑。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

我会计算多项式的导数：

dP(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

现在，您知道dP(-1)=20和dP(1)=9，因此您有5个未知数的方程式：

e = 1
a + b + c + d + e = 1
a - b + c - d + e = 3
-4*a + 3*b - 2*c + d = 20
4*a + 3*b + 2*c + d = 9

因此，您可以构建一个5x5矩阵并解决系统，就像使用A\y一样。

构建这个5x5矩阵的代码是：

A = [0 0 0 0 1 ; 1 1 1 1 1 ; 1 -1 1 -1 1 ; -4 3 -2 1 0 ; 4 3 2 1 0];
y = [1 1 3 20 9]';

然后您可以在图上查看结果：

p=A\y;
u = -1:.01:1;
v = polyval(p, u);
data_pts = [0, 1; 1, 1;-1, 3]
plot(u,v,data_pts(:,1),data_pts(:,2),'rx')

给出了以下情节：

您可以对衍生产品执行相同操作，并检查它是否通过积分(-1,20)和(1,9)。