使用整数除法时，用“a / b / c”替换“a /（b * c）”是否安全？

Question

在正整数a/(b*c)上使用整数除法时，将a/b/c替换为a,b,c是否安全，或者我是否有丢失信息的风险？

我做了一些随机测试但找不到a/(b*c) != a/b/c的例子，所以我很确定它是安全的，但不太确定如何证明它。

谢谢。

Answer 1

数学

作为数学表达式，⌊a/(bc)⌋和⌊⌊a/b⌋/c⌋只要b非零且c为正整数（特别是正整数a） ，b，c）。这些东西的标准参考是由Graham，Knuth和Patashnik撰写的令人愉快的书 Concrete Mathematics：计算机科学基础。其中，第3章主要是关于地板和天花板，这在第71页证明是一个更为一般的结果的一部分：

在上面的3.10中，您可以定义x = a/b（数学，即实际划分）和f(x) = x/c（再次精确划分），并将其插入左侧⌊f(x)⌋ = ⌊f(⌊x⌋)⌋的结果中（在验证f上的条件在此处保留时）以使LHS上的⌊a/(bc)⌋等于RHS上的⌊⌊a/b⌋/c⌋。

如果我们不想依赖书中的参考，我们可以直接使用他们的方法证明⌊a/(bc)⌋ = ⌊⌊a/b⌋/c⌋。请注意，对于x = a/b（实数），我们要尝试证明的是⌊x/c⌋ = ⌊⌊x⌋/c⌋。所以：

• 如果x是一个整数，则无需证明，x = ⌊x⌋。
• 否则为⌊x⌋ < x，所以⌊x⌋/c < x/c表示⌊⌊x⌋/c⌋ ≤ ⌊x/c⌋。 （我们希望表明它是平等的。）假设为了相互矛盾，⌊⌊x⌋/c⌋ < ⌊x/c⌋那么⌊x⌋ < y ≤ x和y/c = ⌊x/c⌋必须有一个数字y。 （当我们将数字从⌊x⌋增加到x并考虑按c划分时，我们必须在某个地方达到确切的值⌊x/c⌋。）但这意味着{{1} }是y = c*⌊x/c⌋和⌊x⌋之间的整数，这是一个矛盾！

这证明了结果。

编程

x

打印（使用32位整数），

#include <stdio.h>

int main() {
  unsigned int a = 142857;
  unsigned int b = 65537;
  unsigned int c = 65537;

  printf("a/(b*c) = %d\n", a/(b*c));
  printf("a/b/c = %d\n", a/b/c);
}

（我使用无符号整数作为它们的溢出行为是well-defined，所以上面的输出是有保证的。对于有符号整数，溢出是未定义的行为，所以程序实际上可以打印（或做）任何，只会强调结果可能不同的点。）

但是如果你没有溢出，那么你在程序中得到的值等于它们的数学值（也就是说，代码中的a/(b*c) = 1 a/b/c = 0 等于数学值{{1} }，并且代码中的a/(b*c)等于数学值⌊a/(bc)⌋），我们已经证明它们是相等的。因此，当a/b/c足够小而不会溢出时，⌊⌊a/b⌋/c⌋可以安全地替换代码中的a/(b*c)。

Answer 2

只要你跟踪你的除数和红利，就可以重新排序嵌套的地板分割。

#python3.x
x // m // n = x // (m * n)

#python2.x
x / m / n = x / (m * n)

证明（在python3.x中没有LaTeX :(）很糟糕：

Let k = x // m
then k - 1 < x / m <= k
and (k - 1) / n < x / (m * n) <= k / n

In addition, (x // m) // n = k // n
and because x // m <= x / m and (x // m) // n <= (x / m) // n
k // n <= x // (m * n)

Now, if k // n < x // (m * n)
then k / n < x / (m * n)
and this contradicts the above statement that x / (m * n) <= k / n

so if k // n <= x // (m * n) and k // n !< x // (m * n)
then k // n = x // (m * n)

and (x // m) // n = x // (m * n)

https://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions#Nested_divisions

Answer 3

虽然b*c可能会溢出（在C中）原始计算，但a/b/c无法溢出，因此我们不需要担心前置替换的溢出{{ 1}}。不过，我们需要另外担心。

让a/(b*c) -> a/b/c。对于某些x = a/b/c，我会a/b == x*c + y，而y < c则为a == (x*c + y)*b + z。

因此，z < b。 a == x*b*c + y*b + z最多为y*b + z，因此b*c-1和x*b*c <= a <= (x+1)*b*c。

因此，a/(b*c) == x和a/b/c == a/(b*c)替换a/(b*c)是安全的。