给定范围内的总和和乘积

Question

给出四个正整数numpy.searchsorted，，和，有没有办法快速找到任意两个整数和{{3这样：

• 和
• ？

当和时，使用二次方程有一个封闭形式的解决方案。我们只需找到的根，它就会给我们一个合适的。

时，我知道如何在中通过注意到曲线是凸的来解决它，因此我们可以二元搜索合适的。

时，可以通过对因子进行分解，并寻找一对与该范围内的值相加的因子来解决。

然而，当它们都是范围时，我无法想到任何可以有效解决这个问题的算法。有一些可能的启发式方法，比如修复两个中的一个（迭代较小的范围等），或者当可以使用两个整数求和为的最大可能产品时，立即报告不存在对。小于等

不幸的是，我还没有能够提出任何能够在一般情况下工作的东西，而不是迭代或中的所有东西（可能还有一些额外的东西）较小的因素）。是否有一个很好的算法，或一些花哨的数学，可以提供更快的解决方案？

或者，有没有办法证明迭代会很快终止？ （在处理了一些角落案件等之后）我对有效对的数量不感兴趣;找到任何一对都会。如果允许总和的范围足够大，似乎迭代产品并试图找到相应的和趋向于快速找到解决方案。可以有某种证据吗？

我非常感谢任何帮助！

Answer 1

您可以在O（sqrt（P2））时间内解决它。

1. 找到这些总和：small_sum = i + ceiling（P1 / i）和big_sum = i + floor（P2 / i），i介于1和sqrt（P2）之间。

2. 如果是small_sum＆gt; big_sum或big_sum＆lt; s1或small_sum＆gt; s2然后我不是解决方案的一部分。继续前进。

3. 否则，max（small_sum，s1）min（big_sum，s2），以及“good sums”之间的所有值。对于其中任何一个，让j = good_sum - i。然后i + j是s1和s2之间的值，i * j在p1和p2之间。

我们最多检查i的sqrt（P2）值，并且对于这些值中的每一个，我们都在不断地工作。

编辑 - Ruby实现

def solve(s1, s2, p1, p2)
  max_i = (p2**0.5).floor
  1.upto(max_i) do |i|
    small_sum = i + (p1/i.to_f).ceil
    big_sum = i + (p2/i.to_f).floor
    next if big_sum < s1 || small_sum > s2 || big_sum < small_sum
    good_sum = [small_sum, s1].max
    puts "sum: #{i} + #{good_sum - i} = #{good_sum}, #{s1} <= #{good_sum} <= #{s2}"
    puts "product: #{i} * #{good_sum-i} = #{i*(good_sum-i)}, #{p1} <= #{i*(good_sum-i)} <= #{p2}"
    return
  end
  puts "no solution"
end