Question

我目前正在阅读“破解编码面试”教科书，我正在审查Big-O和运行时。其中一个例子就是这样：

将所有正整数解打印到等式a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3 + d ^ 3其中a，b，c，d是1到1000之间的整数。

提供的伪代码解决方案是：

n = 1000;
for c from 1 to n
  for d from 1 to n
    result = c^3 + d^3
    append (c,d) to list at value map[result]

for each result, list in map
  for each pair1 in list
    for each pair2 in list
      print pair1, pair2

The runtime is O(N^2)

我不确定如何获得O（N ^ 2），经过广泛的谷歌搜索并试图找出原因后，我仍然不知道。我的理性如下：

上半部分是O（N ^ 2），因为外部循环到n，内部循环每次执行n次。
下半部分我不知道如何计算，但是我得到O（地图的大小）* O（列表的大小）* O（列表的大小）= O（地图的大小）* O（大小的列表^ 2）。
O（N ^ 2）+ O（地图的大小）* O（列表的大小^ 2）

2个for循环将对添加到map列表中= O（N）* O（N）b / c它是2个循环运行N次。

迭代地图的外部for循环= O（2N-1）= O（N）b / c地图的大小是2N - 1，基本上是N.

用于迭代每个列表对的2个for循环= O（N）* O（N）b / c每个列表是＆lt; = N

总运行时间：O（N ^ 2）+ O（N）* O（N ^ 2）= O（N ^ 3）

不确定我在这里缺少什么

有人可以帮我弄清楚O（N ^ 2）是如何获得的，或者为什么我的解决方案不正确。对不起，如果我的解释有点令人困惑。感谢

Answer 1

基于解的第一部分，sum（列表的大小）== N.这意味着第二部分（嵌套循环）不能比O（N ^ 2）更复杂。正如你所说，复杂性是O(size of map)*O(size of list^2)，但它应该是：

O(size of map)*(O(size of list1^2) + O(size of list2^2) + ... )

这意味着，在最坏的情况下，我们将得到一张大小为1的地图，一张大小为N的列表，以及由此产生的O(1)*O((N-1)^2) <==> O(N^2)

的复杂性

在其他情况下，复杂性会降低。例如，如果我们有2个元素的映射，那么我们将得到2个总大小为N的列表。那么结果就是：

O(2)*( O(size of list1^2) + O(size of list2^2)), where (size of list1)+(size of list2) == N

我们从基本数学知道X ^ 2 + Y ^ 2＆lt; =（X + Y）^ 2为正数。

Answer 2

第二部分的复杂性是O(sum of (length of lists)^2 in map)，因为列表的长度取决于我们知道sum of length of lists in map是n ^ 2，因为我们肯定在第一位添加了n ^ 2对的代码。从T(program) = O(n^2) + O(sum of length of lists in map) * O(sum of length of lists in map / size of map) = O(n^2) * O(sum of length of lists in map / size of map)开始，仍然显示sum of length of lists in map / size of map是O（1）。这样做需要相当多的数论，不幸的是我无法帮助你。但请查看这些链接，了解有关如何处理的更多信息：https://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_number
https://math.stackexchange.com/questions/1274816/numbers-that-can-be-expressed-as-the-sum-of-two-cubes-in-exactly-two-different-w
http://oeis.org/A001235

Answer 3

这是一个非常有趣的问题！ cdo256提出了一些好处，我将尝试解释一下并完成图片。

关键问题或多或少是显而易见的 - 存在多少个整数，可以用k个不同的方式（k >= 2）表示为两个正立方的总和，什么是k的可能大小？此数字确定列表的大小，这些列表的值为map，这决定了程序的总复杂程度。我们的搜索空间＆＃34;从2到2 * 10 ^ 9，因为c和d都从1到1000迭代，所以它们的多维数据集的总和最多为2 * 10 ^ 9。如果[2,2 * 10 ^ 9]范围内的数字都不能以多种方式表示为两个立方体的总和，那么我们程序的复杂度将为O(n^2)。为什么？好吧，第一部分显然是O(n^2)，第二部分取决于map值的列表大小。但在这种情况下，所有列表的大小均为1，并且地图中有n^2个键，其中包含O(n^2)。

但事实并非如此，有一个着名的例子是＆＃34;出租车号码＆＃34; 1729，让我们回到我们的主要问题 - 将整数表示为两个正整数立方体之和的不同方法的数量。这是一个活跃的数论研究领域，并在Joseph H. Silverman的文章Taxicabs and Sums of Two Cubes中给出了很好的总结。我建议仔细阅读。目前的记录是here。一些有趣的事实：

最小整数，可以用三种不同的方式表示为两个正整数立方体的总和是87,539,319
可以用四种不同方式表示为两个正整数立方体之和的最小整数是6,963,472,309,248（> 2 * 10 ^ 9）
可以用六种不同方式表示为两个正整数立方体之和的最小整数是24,153,319,581,254,312,065,344（> 2 * 10 ^ 9）

正如您可以轻易看到的那样here，范围[2,2 * 10 ^ 9]中只有2184个整数，可以用两种或三种不同的方式表示为两个正立方的总和，对于k = 4,5,..，这些数字都是我们的范围。因此，map中的键数非常接近n^2，值列表的大小最多为3，这意味着代码的复杂性

  for each pair1 in list
    for each pair2 in list
      print pair1, pair2

是常数，因此总复杂度再次为O(n^2)。

三重嵌套for循环的运行时

3 个答案: