fzero还是fsolve？不同的结果 - 谁是正确的？

Question

我有一个功能

b=2.02478;
g=3.45581;
s=0.6;
R=1;

p =@(r) 1 - (b./r).^2 - (g^-2)*((2/15)*(s/R)^9 *(1./(r - 1).^9 - 1./(r + 1).^9 - 9./(8*r).*(1./(r - 1).^8 - 1./(r + 1).^8)) -(s/R)^3 *(1./(r-1).^3 - 1./(r+1).^3 - 3./(2*r).*(1./(r-1).^2 - 1./(r+1).^2)));
options = optimset('Display','off');
tic
   r2 =  fzero(p,[1.001,100])
   toc
   tic
    r3 =  fsolve(p,[1.001,100],options)
  toc

和答案

r2 =

    2.0198

Elapsed time is 0.002342 seconds.

r3 =

    2.1648    2.2745

Elapsed time is 0.048991 seconds.

哪个更容易理解？ fzero返回的值不同于fsolve

Answer 1

您应该始终查看函数的exit标志（或输出结构），尤其是当您的结果不符合预期时。

这就是我得到的：

• fzero(func,[1.00001,100])：

  X = 4.9969
  FVAL
  EXITFLAG = 1 % fzero found a zero X.
  OUTPUT.message = 'Zero found in the interval [1.00001, 100]'
  

• fzero(func,1.1)：

  X = 1
  FVAL = 8.2304e+136
  EXITFLAG = -5 % fzero may have converged to a singular point.
  OUTPUT.message = 'Current point x may be near a singular point. The interval [0.975549, 1.188] reduced to the requested tolerance and the function changes sign in the interval, but f(x) increased in magnitude as the interval reduced.'
  

退出标志的含义在matlab文档中有解释：

 1 Function converged to a solution x.
-5 Algorithm might have converged to a singular point.
-6 fzero did not detect a sign change.

因此，根据这些信息，很明显第一个信息可以为您提供正确的结果。

为什么fzero失败

作为documented in the manual，fzero通过查找符号更改来计算零：

  

尝试在x找到一个点fun(x) = 0。此解决方案是fun(x)更改sign-fzero无法找到x^2等函数根的地方。

因此，X = 1也是您的公式的解决方案，因为标志在此位置从+ inf变为-inf，如图中所示：

请注意，如果可能，提供搜索范围始终是一个好主意，如手册中所述：

  

以有限间隔调用fzero保证fzero将在FUN更改符号的位置附近返回值。

     

提示：使用间隔（fzero使用两个元素）调用x0通常比使用标量x0调用它更快。

替代方案：fsolve

注意，该方法是为解决多个非线性方程组而开发的。因此，它不如fzero有效（在你的情况下慢约20倍）。 fzero使用基于渐变的方法（查看manual以获取更多信息），这可能在某些情况下效果更好，但可能会陷入局部极值。在这种情况下，只要初始值大于1，函数的梯度就会给出正确的方向。因此，对于此特定函数，fsolve比具有单个初始值的fzero更强大一些，即fsolve(func, 1.1)返回预期值。

结论：一般情况下，fzero使用搜索范围而不是初始值（如果可能的话）用于单个变量，fsolve用于多个变量。如果一个方法失败，您可以尝试其他方法或另一个起点。

Answer 2

正如您可以在文档中看到的那样：

  

该算法由T. Dekker发起，使用二分，割线和逆二次插值方法的组合。

因此，它对寻求解决方案的初始点和区域很敏感。因此，对于不同的初始值和范围，您得到了不同的结果。