如何使用零减少矩阵排名？

Question

我正在使用等级> 1的矩阵。有可能将矩阵的秩降低到秩= 1，将某些值代入零值？

Answer 1

矩阵中的秩是指有多少列向量是独立的且非零（或者行向量，但我被教导总是使用列向量）。因此，如果您愿意丢失有关矩阵定义的变换的大量信息，您可以创建一个矩阵，它只是矩阵的第一个非零列，而其他所有列都设置为零。保证排名第1。

但是，这会失去关于转型的大量信息。也许更有用的事情是将矩阵投影到1x1大小的空间。有一些方法可以这样做，可以创建从矩阵到新空间的注入，保证没有两个矩阵产生相同的结果。首先想到的是：
Let A be an n x m matrix Let {P_i} be the ith prime number. Let F(A) = {sum from i to (n * m)} {P_i} ^ (A_(i div n),(i mod m))

虽然这会生成一个数字，但您可以将单个数字视为1 x 1矩阵，如果非零，则将其排在第1位。

所有这一切，排名1矩阵有点无聊，你可以用矩阵做更酷的东西，如果你把它保持在等级！= 1.特别是，如果你有一个nxn矩阵的秩n，整个世界的可能性打开。这实际上取决于你想要使用这些矩阵的内容。

Answer 2

您可能希望查看奇异值分解，该分解可用于将矩阵写成加权外部乘积之和（请参见here）。仅选择此总和中权重最高的分量，将为您提供最接近分解矩阵的等级1近似值。

大多数常见的线性代数库（Eigen，OpenCV，NumPy）都有SVD实现。