我正在使用quad中的scipy.integrate v0.19.1函数在积分区间的每一端将函数与平方根（如奇点）集成，例如
In [1]: quad(lambda x: 1/sqrt(1-x**2), -1, 1)
（我使用sqrt中的numpy v1.12.0函数），它立即产生正确的结果pi：
Out[1]: (3.141592653589591, 6.200897573194197e-10)
根据quad函数的文档，关键字points应该用于指示被积函数的奇点或不连续点的位置，但如果我指出点[1, -1]，那么以上积分是单数我得到警告并nan结果：
In [2]: quad(lambda x: 1/sqrt(1-x**2), -1, 1, points=[-1, 1])
RuntimeWarning: divide by zero encountered in double_scalars
IntegrationWarning: Extremely bad integrand behavior occurs at some
points of the integration interval.
Out[2]: (nan, nan)
有人可以澄清一下，如果指定了被积函数的奇点，为什么quad会产生这些问题，如果没有指出这些点，那么运行正常？
修改 我想我找到了解决这个问题的正确方法。对于其他人遇到类似问题的情况，我很快就想分享我的发现：
我想要将f(x)*g(x)形式的函数与平滑函数f(x)和g(x) = (x-a)**alpha * (b-x)**beta集成，其中a和b是整合限制和g(x)在alpha, beta < 0时具有这些限制的奇点，那么您应该使用f(x)作为加权函数集成g(x)。对于quad例程，可以使用weight和wvar参数。通过这些论证，您还可以处理不同种类的奇点和有问题的振荡行为。通过设置g(x)并使用weight='alg'指定wvar=(alpha, beta)中的指数，可以使用上面定义的加权函数g(x)。
由于1/sqrt(1-x**2) = (x+1)**(-1/2) * (1-x)**(-1/2)我现在可以按如下方式处理积分：
In [1]: quad(lambda x: 1, -1, 1, weight='alg', wvar=(-1/2, -1/2))
Out[1]: (3.1415926535897927, 9.860180640534107e-14)
能够以非常高的准确度产生正确的答案pi，无论我是否使用参数points=(-1, 1)（据我现在理解，只应该使用，如果选择合适的加权函数不能处理奇点/不连续性。
答案 0 :(得分：1)
参数points适用于在积分区间内出现的奇点/不连续性。它不适用于间隔的端点。因此，在您的示例中，没有points的版本是正确的方法。 （我无法确定在points中包含端点时出现的问题，而不会深入了解SciPy包含的FORTRAN代码。）
与以下示例比较，其中在积分区间内出现奇点：
>>> quad(lambda x: 1/sqrt(abs(1-x**2)), -2, 2)
(inf, inf)
>>> quad(lambda x: 1/sqrt(abs(1-x**2)), -2, 2, points = [-1, 1])
(5.775508447436837, 7.264979728915932e-10)
这里包含points是合适的，并产生正确的结果，而没有points输出是没有价值的。