计算张量的有效方法

Question

假设c是d维向量。我想计算以下三阶张量

其中e_i代表欧几里德空间的i标准基础。有没有一种有效的方法来计算它？我使用以下for循环和Kruskal-tensor ktensor使用Sandia National Labs管理的tensor toolbox计算它：

x=ktensor({c,c,c});
I=eye(d);

for i=1:d
    x=x+2*c(i)*ktensor({I(:,i),I(:,i),I(:,i)}
end

for i=1:d
    for j=1:d

         x=x- c(i)*c(j)*(ktensor({I(:,i),I(:,i),I(:,j)})+ktensor({I(:,i),I(:,j),I(:,i)})+ktensor({I(:,i),I(:,j),I(:,j)}))


    end
end

Answer 1

这是一种可能性。

• 我在第二个学期使用了优化，因为它将c的值放在＆＃34;对角线＆＃34;张量的。
• 对于第一个学期，没有太多优化空间，因为它是一个密集的乘法，所以bsxfun似乎是合适的。
• 对于第三个学期，我坚持bsxfun，但由于结果有点稀疏，你可能会因为填充它而受益＃34;＃34;如果矩阵的大小很大。

以下是代码：

dim = 10;
c = [1:dim]';
e = eye(dim);

x = zeros([dim, dim, dim]);
% initialize with second term
x(1:dim*(dim+1)+1:end) = 2 * c;
% add first term
x = x + bsxfun(@times, bsxfun(@times, c, shiftdim(c, -1)), shiftdim(c, -2));
% add third term
x = x - sum(sum(bsxfun(@times, shiftdim(c*c',-3), ...
   bsxfun(@times, bsxfun(@times, permute(e, [1, 3, 4, 2, 5]), permute(e, [3, 1, 4, 2, 5])), permute(e, [3, 4, 1, 5, 2])) +...
   bsxfun(@times, bsxfun(@times, permute(e, [1, 3, 4, 2, 5]), permute(e, [3, 1, 4, 5, 2])), permute(e, [3, 4, 1, 2, 5])) +...
   bsxfun(@times, bsxfun(@times, permute(e, [1, 3, 4, 5, 2]), permute(e, [3, 1, 4, 2, 5])), permute(e, [3, 4, 1, 2, 5]))), 5), 4);

修改

第三项的更有效（特别是记忆）计算：

ec = bsxfun(@times, e, c);
x  = x - ...
  bsxfun(@times, ec, shiftdim(c, -2)) -...
  bsxfun(@times, c', reshape(ec, [dim, 1, dim])) -....
  bsxfun(@times, c, reshape(ec, [1, dim, dim]));

Answer 2

您可以尝试Parallel Computing Toolbox即parfor循环。

x=ktensor({c,c,c});
I=eye(d);

y = zeros(d,d,d, d);
parfor i=1:d
    y(:,:,:, i) = 2*c(i)*ktensor({I(:,i),I(:,i),I(:,i)};
end
x = x + sum(y, 4);

z = zeros(d,d,d, d,d);
parfor i=1:d
    for j=1:d % only one layer of parallelization is allowed
         z(:,:,:, i,j) = c(i)*c(j)*(ktensor({I(:,i),I(:,i),I(:,j)})+ktensor({I(:,i),I(:,j),I(:,i)})+ktensor({I(:,i),I(:,j),I(:,j)}));
    end
end
x = x - sum(sum(z, 5), 4);
x % is your result

它只运行未触及的ktensor命令，但是在不同的线程中，因此Toolbox负责并行运行代码。

由于每次迭代的独立性，这意味着，例如，c_{i+1, j+1}不依赖于c_{i, j}，这是可能的。

根据系统内核（和超线程）的数量，最多可能有＃-of-cores-times-times-times。