我是否正确实施了Milstein的方法/ Euler-Maruyama？

Question

我有一个随机微分方程（SDE），我试图用Milsteins方法解决但是得到的结果不同意实验。

SDE

我将其分解为2个一阶方程式：

eq1：

eq2：

然后我使用了Ito形式：

对于eq1：

和eq2：

用于尝试解决此问题的python代码如下：

# set constants from real data
Gamma0 = 4000  # defines enviromental damping
Omega0 = 75e3*2*np.pi # defines the angular frequency of the motion
eta = 0 # set eta 0 => no effect from non-linear p*q**2 term
T_0 = 300 # temperature of enviroment
k_b = scipy.constants.Boltzmann 
m = 3.1e-19 # mass of oscillator

# set a and b functions for these 2 equations
def a_p(t, p, q):
    return -(Gamma0 - Omega0*eta*q**2)*p

def b_p(t, p, q):
    return np.sqrt(2*Gamma0*k_b*T_0/m)

def a_q(t, p, q):
    return p

# generate time data
dt = 10e-11
tArray = np.arange(0, 200e-6, dt)

# initialise q and p arrays and set initial conditions to 0, 0
q0 = 0
p0 = 0
q = np.zeros_like(tArray)
p = np.zeros_like(tArray)
q[0] = q0
p[0] = p0

# generate normally distributed random numbers
dwArray = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), len(tArray)) # independent and identically distributed normal random variables with expected value 0 and variance dt

# iterate through implementing Milstein's method (technically Euler-Maruyama since b' = 0
for n, t in enumerate(tArray[:-1]):
    dw = dwArray[n]
    p[n+1] = p[n] + a_p(t, p[n], q[n])*dt + b_p(t, p[n], q[n])*dw + 0
    q[n+1] = q[n] + a_q(t, p[n], q[n])*dt + 0

在这种情况下，p是速度，q是位置。

然后我得到以下q和p的图：

我期望得到的位置图看起来像下面这样，我从实验数据中得到（从中确定了模型中使用的常数）：

我是否正确实施了Milstein的方法？

如果我有，那么我解决SDE的过程还有什么不对，这会引起对实验的不同意见？

Answer 1

您错过了漂移系数中的一个词，请注意dp右侧有两个dt项。因此

def a_p(t, p, q):
    return -(Gamma0 - Omega0*eta*q**2)*p - Omega0**2*q

实际上是使振荡器成为振荡器的部分。经过更正后，解决方案看起来像

不，你没有实现Milstein方法，因为没有b_p的衍生物是Milstein与Euler-Maruyama的区别，缺少的术语是+0.5*b'(X)*b(X)*(dW**2-dt)。

还有一个免衍生版本的Milsteins方法作为两阶段Runge-Kutta方法，记录在wikipedia或原始arxiv.org (PDF)中。

其中的步骤（基于矢量，复制到X=[p,q]，K1=[k1_p,k1_q]等，以接近您的约定）

S = random_choice_of ([-1,1])
K1 = a(X )*dt + b(X )*(dW - S*sqrt(dt))
Xh = X + K1
K2 = a(Xh)*dt + b(Xh)*(dW + S*sqrt(dt))

X = X + 0.5 * (K1+K2)