curve_fit拟合高度相关数据的问题

Question

对于我的学士论文，我正在开展一个项目，我想对某些数据进行拟合。问题有点复杂，但我试着在这里尽量减少问题：

我们有三个数据点（很少有理论数据可用），但这些点高度相关。

使用curve_fit来拟合这些点，我们会得到一个非常合适的结果，如图所示。 （通过手动改变拟合参数可以很容易地改善拟合）。

我们的拟合结果具有相关性（蓝色）和忽略的相关性（橙色）：

当我们使用更多参数时，结果会变得更好（因为当时拟合的行为基本上类似于求解）。

我的问题：为什么会出现这种情况？ （我们使用我们自己的最小二乘算法来解决我们的特定问题，但它遇到了同样的问题）。这是一个数值问题，还是有什么理由让curve_fit显示这个解决方案？

我很高兴有一个很好的解释说明为什么我们不能使用“仅2”参数来拟合这些高度相关的3个数据点。

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['lines.linewidth'] = 1

y = np.array([1.1994, 1.0941, 1.0047])
w = np.array([1, 1.08, 1.16])
cor = np.array([[1, 0.9674, 0.8812],[0.9674, 1, 0.9523], [0.8812, 0.9523, 1]])
s = np.array([0.0095, 0.0104, 0.0072])

def f(x, a, b):
    return a + b*x

cov = np.zeros((3,3))
for i in range(3):
    for j in range(3):
        cov[i,j] = cor[i,j] * s[i] * s[j]

A1, B1 = curve_fit(f, w, y, sigma=cov)
A2, B2 = curve_fit(f, w, y)

plt.plot(w, f(w, *A1))
plt.plot(w, f(w, *A2))

plt.scatter(w, y)
plt.show()

Answer 1

这不是数字问题。 ＆＃34;问题＆＃34;是你的协方差矩阵的非对角线项是正的和相对大的。这些确定了拟合中误差之间的相关性，因此如果所有术语都是正数，则表示所有误差都是正相关的。如果一个人很大，那么其他人也会因为同一个标志而变大。

这是一个类似于你的例子，带有协方差矩阵

        [2.0  1.3  0.0]
sigma = [1.3  2.0  1.3]
        [0.0  1.3  2.0]

（该矩阵的条件数为23.76，所以我们不应该期待任何数值问题。）

虽然第一点和第三点之间的协方差为0，但是第一点和第二点之间的协方差为1.3，第二点和第三点之间的协方差为1.3，并且1.3是差异的相对较大部分，均为2.因此它将是如果拟合模型中的所有误差都具有相同的符号，那就不足为奇了。

这个脚本有三个点，并绘制数据和拟合线。

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt


def f(x, a, b):
    return a + b*x


x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([2, 0.75, 0])
sig = np.array([[2.0, 1.3, 0.0],
                [1.3, 2.0, 1.3],
                [0.0, 1.3, 2.0]])

params, pcov = curve_fit(f, x, y, sigma=sig)

y_errors = f(x, *params) - y

plt.plot(x, y, 'ko', label="data")
plt.plot(x, f(x, *params), linewidth=2.5, label="fitted curve")
plt.vlines(x, y, f(x, *params), 'r')

for k in range(3):
    plt.annotate(s=r"$e_{%d}$" % (k+1), xy=(x[k]-0.05, y[k]+0.5*y_errors[k]), ha='right')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis('equal')
plt.grid()
plt.legend(framealpha=1, shadow=True)
plt.show()

正如您在图中看到的，所有错误都具有相同的符号。

我们可以通过考虑另一个协方差矩阵

来确认这种推理

        [ 2.0   1.3  -1.0]
sigma = [ 1.3   2.0  -1.3]
        [-1.0  -1.3   2.0]

在这种情况下，所有非对角线项的幅度都相对较大。第一和第二错误之间的协方差是正的，并且在第二和第三错误之间以及在第一和第三错误之间是负的。如果这些非对角线项相对于方差足够大，我们应该预期前两个点的误差的符号是相同的，而第三个误差将与前两个相反的符号相反。

以下是sig更改为上述矩阵时脚本生成的图表：

错误显示预期的模式。